Лямина О.С.
Забайкальский
государственный университет, Россия
О связи между константами и
.
Тригонометрические
операторы Баскакова – это совокупность аппроксимирующих последовательностей
операторов, определенных на множестве суммируемых периодических функций. Эти операторы определяются формулой:
,
где целые
параметры m, kj не зависят от n и удовлетворяют неравенствам .
Известно, что если , то
где
(говорят, что
принадлежит классу
, если
выполняется
).
Теорема
2.6. При
каждом и при любом
зафиксированном
выполняется
предельное равенство
=
.
Доказательство. Обозначим
Получаем
(1)
Таким образом представлено суммой
трех слагаемых. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.
Проанализируем первое
слагаемое правой части равенства (1)
, при этом
.
Следовательно,
.
Для анализа второго слагаемого правой части равенства (1) рассмотрим
разность
.
Так как , имеем
.
Множитель представляет собой
бесконечно малую при
. Исследуем интегралы в скобках.
Преобразуем и оценим первый из них
=
=
.
Интеграл сходится,
следовательно интеграл
равномерно по
ограничен.
Оценим второй интеграл.
<
.
Последний интеграл равномерно по ограничен.
Итак,
.
Так как , то для того, чтобы закончить доказательство теоремы достаточно показать, что
.
Имея в виду , получаем
.
Множитель величина
(относительно
) ограниченная. Далее, подынтегральное выражение
сходящегося интеграла
от
не зависит.
Следовательно,
.
Рассмотрим теперь интеграл (первый интеграл в скобках)
при
.
Теорема доказана.