Математика/5. Математическое моделирование

Иванова М.С. Мартынов О.В.

Ковровская государственная технологическая академия им. В.А. Дегтярева, Россия

Тепловое расширение жидкостей с точки зрения модели неустойчивых локальных структур.

Рассмотрена модель теплового расширения жидкости. Определены температурные коэффициенты этого процесса для различных жидкостей с помощью программной имитации, основанной на модели. Выделена группа жидкостей, для которых применима разработанная модель.

Основные реологические характеристики жидкостей получены экспериментальным путём. Возникает необходимость описания таких характеристик с помощью структурных моделей на молекулярном уровне. Совпадение значений при этом будет служить подтверждением применимости модели.

С точки зрения модели неустойчивых локальных структур преобладающее влияние на свойства жидкости оказывают локальные структуры с наибольшим временем устойчивости (элементарные ячейки) [1]. При повышении температуры расстояние между молекулами ячейки увеличивается из-за возрастания амплитуды колебания молекул, обусловленного увеличением их средней скорости теплового движения. Это приводит к увеличению объема ячейки, а, следовательно, и к расширению жидкости. Таким образом, температурный коэффициент объемного расширения может быть определен по температурной зависимости изменения среднего расстояния боковых молекул ячейки от ее центральной молекулы.

Для определения среднего расстояния между молекулами использовалась программная имитация ячейки, основанная на ее математической модели [2]. Для определения объемного коэффициента теплового расширения был получен объем элементарной ячейки неполярной жидкости для каждой температуры в диапазоне от температуры кристаллизации (Т_кр) до температуры кипения по формуле:

,

где N – количество боковых молекул в ячейке, N_t – число дискретных промежутков времени за время устойчивости ячейки, x_ij, y_ij – координаты боковых молекул ячейки в текущий момент времени, x_0j, y_0j – координаты центральной молекулы ячейки в текущий момент времени.

Линеаризация зависимости среднего объема ячейки от температуры (Т) выражением

,

позволила определить коэффициент теплового расширения следующим образом:

На основе данной методики были определены коэффициенты для следующих простых жидкостей: метан, метанол, этанол, бензол, ацетон.

Наименование	Рассчитанный по модели α, К^-1	Приведенный в литературе [3] α, К^-1	Отклонение
метан	0,0032626	0,003333349	2,12%
метанол	0,0012913	0,001259	2,57%
этанол	0,001202	0,001325	9,28%
бензол	0,000881415	0,001296	31,99%
ацетон	0,00092389	0,001884	50,96%

Как видно из таблицы, хороший результат был получен для метана и спиртов. Это можно объяснить наилучшей сферичной симметрией этих молекул, что приводит к малому изменению постоянных Леннард-Джонса при изменении ориентации молекул относительно центра ячейки. Таким образом, малое отклонение полученных значений коэффициента теплового расширения от экспериментальных данных для жидкостей, состоящих из сферично-симметричных молекул, свидетельствует о применимости разработанной математической модели для описания теплового расширения жидкостей.

Литература:

1. Мартынов О.В., Тетерин Е.П. Молекулярно-кинетическая модель возникновения касательных напряжений в простых жидкостях в широком интервале градиентов скоростей сдвига.// Прикладная физика, 1999, №4, 12 - 20 с.

2. Иванова М.С., Мартынов О.В. Описание элементарной ячейки неполярной жидкости с помощью двумерной математической модели.// Математическое моделирование, 2010, т.22, №6, 49 - 57 с.

3. Варграфтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. –М.:Наука, 1972.-720 с.