Математика/4. Прикладная математика

к.ф.м.н. В. С. Саженюк

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Україна

Апроксимація квазілінійної варіаційної нерівності четвертого порядку

Постановка задачи.

Нехай область границею Г. Введемо функціональний простір . В виділимо замкнуту опуклу множину майже всюди в .

Позначимо

.

Розглянемо задачу:

(1)

Задача (1) еквівалентна наступній кураєвій задачі з обмеженням :

(2)

Будемо вважати , що функція - вимірна та задовольняє умовам

(3)

де .

Метод штрафу.

Апроксимуємо варіаційну нерівність (1) такою задачею зі штрафом:

, , (4)

де

Задача зі штрафом (4) еквівалентна задачі

(5)

Справедлива

Теорема 1. Нехай виконуються умови (3). Розв’язок задачі (4) збігається при до розв’язку варіаційної нерівності (1) , (2) , причому виконується оцінка

. (6)

Різницева схема.

В введемо рівномірну сітку . Позначимо через множину граничних вузлів. Задачу (1) апроксимуємо такою різницевою схемою

, , (7)

де позначено

,

- усереднюючи оператори ,

- – полі лінійне поповнення сіткової функції ,

-

Теорема 2 . Розв’язок різницевої схеми (7) збігається при 0 до розв’язку варіаційної нерівності (1), при цьому справедлива оцінка швидкості збіжності

. (8)

Доведення теореми проводиться у два етапи. З початку розглядається задача зі штрафом (5), що апроксимує диференційну нерівність (1) , та доводиться оцінка швидкості збіжності (6). В подальшому, використовуючи методику дослідження різницевих схем у випадку узагальнених розв’язків [1] та оцінку (6) , отримаємо оцінку (8).

Література:

1. Самарский А. А., Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для

дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. – М.:.

Высшая школа, 1987. – 296с