Акимова В.А., д.ф.-м. н. Латышев А.В., д.ф.-м.н. Юшканов А.А.

Московский государственный областной университет (МГОУ)

Вторая задача Стокса для разреженного газа над колеблющейся поверхностью с диффузными граничными условиями

 

 В настоящей работе сформулирована и решена аналитически вторая задача Стокса — задача о поведении разреженного газа, занимающего полупространство над стенкой, совершающей гармонические колебания. Рассматриваются диффузные граничные условия. Используется уравнение, полученное в результате линеаризации модельного кинетического уравнения Больцмана. На основе аналитического решения найдена скорость разреженного газа в полупространстве и непосредственно у стенки.

Задача о поведении сплошной среды над стенкой, колеблющейся в своей плоскости, была рассмотрена Дж. Г. Стоксом [1]. Эту задачу называют второй задачей Стокса [2] – [7]. В настоящей работе впервые дается аналитическое решение этой классической задачи для разреженного газа. В наших работах [7] для второй задачи Стокса развит математический аппарат, необходимый для аналитического решения задачи и приложений.

Рассматривается разреженный одноатомный газ, занимающий полупространство x > 0 над плоской твердой поверхностью, лежащей в плоскости x = 0. Поверхность (y, z) совершает гармонические колебания вдоль оси  по закону . Требуется построить функцию распределения газовых молекул  и найти скорость газа uy(t,x). Функция распределения удовлетворяет уравнению

           (1)

где  – безразмерная скорость,  – безразмерное время.

Диффузные граничные условия, записанные относительно , формулируются следующим образом:

                                            (2)

                                                   (3)

Граничная задача о колебаниях газа состоит в решении уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3).

Учитывая, что колебания пластины рассматриваются вдоль оси y, будем искать функцию  в виде , а затем выделим временную переменную, положив далее   Получаем граничную задачу

                              (4)

                                                                                                   (5)

                                                              (6)

         Решение задачи (4) – (6) имеет вид

                                  (7)

Здесь  -  постоянный коэффициент, называемый коэффициентом дискретного спектра,

,      

- функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра,  - собственная функция характеристического уравнения, определяемая равенством:

        

где  - дельта-функция Дирака, символ – главное значение интеграла при интегрировании , - дисперсионная функция, введенная равенством

В работах [7] показано, что существует критическая частота колебаний пластины  такая что при , число комплексных нулей дисперсионной функции в плоскости с разрезом вдоль действительной оси, равно двум. В случае, когда частота колебаний пластины превышает критическую ( ) дисперсионная функция не имеет нулей в верхней и нижней полуплоскостях. В этом случае дискретных (частных) решений исходное уравнение (4) не имеет.

Коэффициент непрерывного спектра имеет вид

                                                             (8)

где

,

                                 (9)

Согласно формулам для  и H  выпишем выражение для скорости газа в полупространстве:

                                                  (10)

При  подставим (7) в (10), получим

                                                      (11)

С учетом (11) получим, что массовая скорость газа в полупространстве равна:

                              (12)

Вычислим значение массовой скорости непосредственно вблизи у стенки. Из формулы (12) получаем, что

                                                    (13)

Для вычисления интеграла из (13) воспользуемся интегральным представлением из [7]. С использованием (9) получаем, что массовая скорость в полупространстве вычисляется по формуле

                                                         (14)

Для нахождения величины функции X(z) в нуле воспользуемся теперь формулой факторизации дисперсионной функции [7]: , где  Замечая, что  находим: . Согласно (14) значение амплитуды скорости газа у стенки окончательно равно:

где

                                                   

Значение размерной скорости непосредственно у стенки дается выражением:

Полагая, что , запишем

                                          (15)

где – безразмерная амплитуда скорости газа, а  – сдвиг фазы скорости.

 Опуская длительные вычисления при , приведем выражение скорости газа в полупространстве:

и непосредственно у стенки:

                                                (16)

Рассуждая аналогично, получаем:  Согласно (16) для безразмерной скорости газа получаем

                                            (17)

где

,

- амплитуда скорости, а  - сдвиг фазы скорости.

Согласно (17) выражение для размерной скорости при малых частотах непосредственно у стенки таково:

                По формулам (15) и (17) построим графики амплитуды (рис. 1) и сдвига фазы (рис. 2) скорости газа непосредственно вблизи у стенки.

             

Рис. 1                                                                                                                   Рис. 2

Литература:

1. Stokes G.G. // Trans. Cambr. Phil. IX, 8 A851. Math. and Phys. Papers III. Cambridge. 1901. P. 1–141.

 2. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006. 175 с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 712 с.

4. Ai L., Vafai K. // Numerical Heat Transfer, Part A: Applications, V. 47. 2005. P. 955 - 980.

5. Asghar S., Nadeem S., Hanif K., Hayat T. // Math. Probl. Eng. V. 2006, Article ID 72468. 8 p.

6. Дудко В.В. Скольжение разреженного газа вдоль неподвижных и колеблющихся поверхностей: Дисс... канд. физ-матем. наук. М. 2010. 108с.

7. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Part I. // arXiv: 1111.3429v1. PartII. // arXiv: 1111.5182v1.