Физика /1. Теоретическая физика

K. ф.м.н. Овчаренко И. Е.

Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Россия

K. ф.м.н. Степановский Ю. П.

Национальный научный центр

«Харьковский физико-технический институт», Харьков, Украина

Применение группы Лоренца как динамической группы

гармонического осциллятора к исследованию сжатого света

1. Пуанкаре, Эйнштейн и преобразования Лоренца. Многолетние попытки Г. А. Лоренца найти преобразования, оставляющие инвариантными уравнения электродинамики Максвелла, закончились статьей 1904 г. [1], в которой, как считал Лоренц, он, наконец, нашел нужные преобразования. Однако А. Пуанкаре обнаружил, что полученные Лоренцем преобразования ошибочны. Пункаре нашел правильные преобразования, назвал их преобразованиями Лоренца и опубликовал эти преобразования 5 июня 1905 г. в небольшой статье [2]. 30 июня 1905 г. в печать поступила большая статья А. Эйнштейна [3], содержавшая те же преобразования Лоренца и построенную Эйнштейном специальную теорию относительности. 23 июля 1905 г. поступила в печать статья Пуанкаре [4] с полным и обстоятельным изложением теории относительности. Эта работа Пуанкаре, напечатанная в 1906 г., была вдвое больше по объему, чем работа Эйнштейна 1905 г.. Статья Пуанкаре содержала в себе почти всю математику и физические выводы специальной теории относительности (кроме формулы E = mc2). Статья Пуанкаре была опубликована в практически не читаемом физиками итальянском математическом журнале, и, к сожалению, не привлекла должного внимания физиков.  Обо всем этом можно было бы и не говорить, если бы не всё более распространяющееся заблуждение о том, что теория относительности была, будто бы, построена Пуанкаре раньше Эйнштейна и что Эйнштейну было что позаимствовать у  Пуанкаре из этой, на самом деле, не существовавшей до 1905 г. теории. Так, В. И. Арнольд писал в статье [5], посвященной А. Пункаре: «Вероятно, самое знаменитое из позабытых открытий Пуанкаре – это его изобретение (за 10 лет до Эйнштейна) принципа относительности... Математическая часть «специальной теории относительности» тоже была опубликована Пуанкаре до Эйнштейна (включая и знаменитую формулу Е = тс2)». Эти слова искажают реальное положение дел. Никакой теории относительности не существовало, пока не были найдены преобразования Лоренца, а преобразования Лоренца (мы считаем что скорость света )

                                     (1)

были найдены Пуанкаре и Эйнштейном независимо и практически одновременно только в 1905 г.. (Полная группа инвариантности уравнений релятивистской физики, ортохронная группа Лоренца , это, конечно, не только преобразования (1), соответствующие относительному движению инерциальных систем отсчета вдоль оси x, а, разумеется, это все преобразования, соответствующие всем движениям и поворотам, сохраняющим квадратичную форму .)

Что же касается найденного Пуанкаре в 1900 г. соотношения E = mc2, то оно было получено с помощью ошибочных рассуждений и не может считаться выводом этой фундаментальной формулы. Эйнштейна многие упрекали в том, что он никогда не ссылался на Пуанкаре. Это не так. В работе 1906 г. [6], посвященной новому, по сравнению со статьей 1905 г. [7], наглядному выводу формулы E = mc2, Эйнштейн сослался именно на ту работу Пуанкаре [8], которая содержала неправильный с современной точки зрения вывод. Пуанкаре рассмотрел связь между импульсом и энергией плоской электромагнитной волны, найденную Дж. К. Максвеллом в 1864 г., p=E/c, затем переписал эту формулу так: p=E/c=(E/c2)c=mV. Отсюда Пуанкаре получил соотношение E = mc2,  но, как стало ясно впоследствии, у Пуанкаре не было оснований считать, что  импульс p = mV. Формула  p = mV  правильна в дорелятивистской физике, но никак не в релятивистской.

2. Группа  и преобразования Боголюбова. Рассмотрим операторы импульса  и координаты , удовлетворяющие перестановочныму соотношению

                                                              (2)

(мы считаем, что постоянная Планка  = 1). Введем новые операторы  и ,

                                                 (3)

где , ,  ,, b и c – произвольные вещественные числа, с одним ограничением

                                                              (4)

Легко проверить, что новые операторы удовлетворяют тому же перестановочному соотношению (1). Группа вещественных -матриц с определителем (4), равным единице, обозначается как  и хорошо изучена математиками [9].

         Введем вместо операторов  и   новые операторы рождения и уничтожения

 ,                                            (5)

удовлетворяющие перестановочному соотношению

 .                                                           (6)

Теперь соотношения (3) примут вид хорошо известных преобразований Боголюбова [10], впервые использованных Н. Н. Боголюбовым в его теории сверхтекучести в 1947 г.:

 ,                             (7)

где ,  и  – произвольные комплексные числа с ограничением

 .                                                            (8)

Группа  и изоморфные ей преобразования Боголюбова тесно связаны с группой Лоренца , действующей в трехмерном пространстве-времени, так как осуществляют двузначное спинорное представление  этой группы Лоренца.

         3. Преобразования Боголюбова и сжатые состояния света. Рассмотрим вакуумное состояние света , соответствующее случаю, когда в начальном состоянии никаких фотонов нет (мы имеем в виду фотоны с определенными частотами, волновыми векторами и поляризациями, рождение и уничтожение которых описывается операторами  и ). В гейзенберговском представлении квантовой механики с вектором состояния   ничего не происходит, а во времени изменяются операторы  и . В общем случае операторы рождения и уничтожения на плюс- и минус-бесконечности по времени связаны преобразованием Боголюбова

.                                         (9)

Поскольку наш вектор состояния является вакуумом на минус-бесконечности по времени,

,                                         (10)

мы приходим к выводу, что на плюс-бесконечности по времени наш вектор состояния удовлетворяет соотношению

 .                                    (11)

Уравнение (11) является ничем иным, как описанием света в сжатом состоянии.

4. Группа Лоренца как динамическая группа гармонического осциллятора. В 1965 г. С. С. Санников [11] показал, что три оператора, связанные с лагранжианом, гамильтонианом и пфаффианом гармонического осциллятора,

            (12)

представляют собой  инфинитезимальные операторы унитарного представления группы Лоренца, реализуемого операторами . Роль времени играет ось . Угол поворота в плоскости 1-3  – вещественный, а чисто мнимые «углы»  и соответствуют преобразованиям Лоренца для относительного движения инерциальных систем отсчета вдоль осей 1 и 3 со скоростями   и . (Отметим, что работа Санникова [11], изменившего фамилию «Санников» на «Санников-Проскуряков», была включена в собрание его избранных работ, изданное ОИЯИ в 2009 г. [12].)

         5. Бесконечно-компонентное уравнение Дирака и сжатый свет. В 1971 г. П. А. М. Дирак, написал новое релятивистское волновое уравнение [13], описывающее частицу со спином нуль и не имеющее решений с отрицательной энергией. Уравнение Дирака в нашем упрощенном трехмерном пространстве-времени имеет вид

 ,                                               (13)

где   и   – релятивистский 3-импульс и масса частицы,    – вектор состояния частицы,  – матрицы Паули.  и  – вещественны,  – чисто мнимо. Если, вместо операторов  и ,  воспользоваться  операторами рождения и уничтожения, то уравнение Дирака (13) примет вид:

                    (14)

Уравнения (14) совместны, когда энергия E положительна и равна

.                                                       (15)

Если условие (15) выполняется, уравнения (14) сводятся к одному уравнению

,                                           (16)

описывающему свет, находящийся в состоянии сжатого вакуума.

         Отметим в заключение, что еще в 1932 г. Э. Майорана исследовал решения бесконечно-компонентного релятивистского волнового уравнения, описывающего частицу с произвольным спином и не имеющего решений с отрицательной энергией [14]. В нашем упрощенном случае трехмерного пространства-времени уравнение Майораны имеет вид

 .                                                     (17)

Литература

1.        Лоренц Г. Старые и новые проблемы физики. – М: Наука, 1970. – стр. 28-54.

2.        Пуанкаре А. Избранные труды, Т. III. – М: Наука, 1974. – стр. 429-432.

3.        Эйнштейн А. Собрание научных трудов, Т. I. – М: Наука, 1965. – стр. 7-35.

4.        Пуанкаре А. loc.cit. – стр. 433-486.

5.        Арнольд В. И. УМН. – 2006. – Том 61, вып. 1 (367). – С. 3-24.

6.        Эйнштейн А. loc.cit. – стр. 39-44.

7.        Эйнштейн А. loc.cit.– стр. 36-38.

8.        Poincaré H. Arch. Neerl. sci. exactes et natur. – 1900. – Vol. 5. – P. 252-278.

9.        Ленг С. . – М: Мир, 1977. – 430 с.

10.    Боголюбов Н. Н. Изв. АН СССР Сер. физ. – 1947. – Т. 11, № 1. – стр. 77-90.

11.    Санников С. С. ЖЭТФ – 1965. – Т. 49, вып. 6. – С. 1913-1922.

12.    Санников-Проскуряков С. С. ЭЧАЯ – 2009. – Т. 40, вып. 7. – С. 299-380.

13.    Дирак П. А. М. Собрание научных трудов, Т. III. – М: Физматлит, 2004. – стр. 546-557.

14.    Майорана Э. Релятивистская теория частицы с произвольным внутренним угловым моментом. – В кн.: Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике. – Москва: Мир, 1974. – стр. 239-247.