Ж.Б. Бакиров, Г.Д. Таженова

Карагандинский государственный технический университет

Расчет нелинейных виброизоляторов при ударных воздействиях

Часто виброзащитные системы испытывают воздействия в виде отдельных или повторяющихся ударных импульсов, причем, во многих случаях они оказываются более опасными, чем вибрационные. Такие воздействия испытывают и многие элементы горного оборудования, например, детали и узлы добычных и проходческих комбайнов, горнотранспортных машин.

В связи с этим возникает проблема виброзащиты горного оборудования от ударных воздействий.

Кратковременность ударных процессов, нестационарность колебаний, возникающих после удара, диктует необходимость непосредственного интегрирования уравнения движения с учетом начальных условий. В этих целях для линейных систем часто используются интегралы Дюамеля или операторный метод.

Большинство современных устройств виброзащиты представляют собой существенно нелинейные системы, работающие при значительных смещениях и нагрузках [1]. Для расчета таких систем при ударных и импульсных воздействиях применяются точные методы нелинейной механики, основанные на припасовывании решений. Для определения наибольших смещений при ударе был разработан специальный графический метод (дельта-метод). Для расчета нелинейных виброзащитных систем при ударных воздействиях чаще всего применяются численные методы. Здесь изложено аналитическое решение задачи.

Уравнение движения виброизолированного объекта массы при ударе имеет вид:

(1)

где - упруго-диссипативная характеристика виброизолятора; - закон изменения силы удара или силы инерции при импульсном кинематическом возбуждении; - продолжительность удара; - единичная функция Хевисайда.

Основной задачей анализа ударных явлений будем считать определение наибольшего значения реакции виброизолятора, ибо оно определяет качество виброзащитных систем. Это значение может достигаться как во время удара, так и после его окончания. В последнем случае наибольшими всегда являются первые максимумы. Обычно при ударе диссипативные силы малы по сравнению с упругими, поэтому максимальная сила в виброизоляторе полностью определяется наибольшим перемещением .

При расчетах на ударные нагрузки различают «длительный» и «короткий» удар. Удар называется «длительным», если первый максимум перемещения достигается в момент , то есть во время удара, и «коротким», если он достигается при .

Ударная силовая характеристика виброизоляторов может заметно отличаться от соответствующих характеристик при статистических нагрузках и колебаниях. Они определяются, как правило, на ударных стендах и производятся в технической документации. Аналитическое описание этих характеристик для наиболее часто применяемых виброизоляторов приведено в работе [2].

Для решения уравнения (1) воспользуемся методом гармонической линеаризации. Решение ищем в виде

где ,

Нетрудно видеть, что это выражение удовлетворяет нулевым начальным условиям и условию достижения максимального перемещения, то есть

Силовую характеристику виброизоляторов линеаризуем вокруг положения равновесия

(2)

где - упругая сила, - диссипативная сила.

Коэффициенты линеаризации определяются выражениями

(3)

Подставляя выражение (2) в уравнение (1), получим следующее уравнение движения:

где

Решение этого уравнения при нулевых начальных условиях имеет вид

(4)

где

Проинтегрировав это выражение, получаем явное уравнение для перемещения, в котором параметры зависят от амплитуды и эта зависимость определяется видом упруго-диссипативных характеристик виброизолятора. Из полученного уравнения определяем максимум перемещения и приравниваем его . Это дает нелинейное алгебраическое уравнение для определения амплитуды.

После определения максимального перемещения максимальная сила в виброизоляторе определяется по его упругой характеристике Коэффициент эффективности виброизоляции определяется как отношение максимальной силы удара к максимальной силе, передаваемой на объект виброзащиты

(5)

Виброзащита считается эффективной, если меньше единицы (чем меньше, тем лучше).

При проектном расчете, исходя из принятого значения по (5) определяют параметры упругой характеристики виброизолятора.

Уравнение для амплитуды получается очень сложным и за исключением простых случаев требует применения ЭВМ. Для упрощения расчетов при отыскании времени достижения первого максимума без ощутимой погрешности можно пренебречь затуханием колебаний.

Проведем расчет виброизолятора с кубической нелинейной характеристикой при действии полусинусоидального импульса

По формуле (4) при получаем

(6 а)

(6 б)

Если удар является «коротким», то максимальное перемещение определяется из второго уравнения, которое можно привести к виду

где .

Максимальное значение равно сумме постоянной составляющей и амплитуды колебаний. Из условия , получаем уравнение для определения амплитуды:

Это уравнение преобразуется к простому виду

(7)

Если удар является «длительным», то для приближенного расчета ударный импульс рекомендуется заменить равновеликим по площади прямоугольным импульсом той же длительности. Тогда высота импульса

(8)

При этом амплитуду можно определить из выражения

(9)

а максимальное перемещение найти построением графика х по уравнению (6 а).

Приведем пример расчета виброизолятора с кубической упругой характеристикой

По формулам (3) находим

Численные расчеты удобнее вести в безразмерном виде. Введем следующие обозначения:

, , , , ,

Тогда коэффициенты линеаризации примут вид

(10)

При расчетах примем , . Тогда удар является «коротким». Уравнение (7) примет вид

где

Решая это уравнение графически или с помощью ПК Matlab, находим , следовательно, .

Определим коэффициент виброизоляции

Рассмотрим длительный удар, приняв . Из условия (9) с учетом (8) и (10) следует

Отсюда , . С учетом этого уравнение (6 а) перепишем так

где . Приняв , получаем

Построением графика этой функции находим .

Максимальное перемещение можно найти и без построения графика. Если справедливо (9), то первое слагаемое в (6 а) очень мало по сравнению со вторым. Пренебрегая им, из условия получим

(11)

Обозначим

Тогда

При из (11) получаем

то есть удар действительно «длительный».

Для оценки погрешности приближенного решения уравнение движения приведено к виду

и решено на ПЭВМ методом Рунге-Кутта. В результате решения получено . Расхождение результатов составляет 6,46%, что приемлимо при расчетах на ударные нагрузки.

Литература:

1. Вольперт Э.Г. Динамика амортизаторов с нелинейными упругими элементами. –М.: Машиностроение, 1972.-136с.

2. Бакиров Ж.Б., Портнов В.С., Таженова Г.Д. Расчет виброизоляторов при ударных воздействиях// Уголь №7. –Москва, 2012. –С. 77-80.