На рисунке 1 представлена упрощенная
модель коаксиального магнитоплазменного ускорителя (КМПУ). Сгусток
представляется как недеформируемая проводящая перемычка, ускоряемая силами
магнитного давления собственных токов, протекающих в ускорителе через
перемычку. Описывается метод сведения сложных процессов, происходящих в
плазменном ускорителе, к представленной электротехнической схеме замещения.
Таким образом, исследование процессов, происходящих в КМПУ, сводятся к
исследованию переходных процессов в электротехнической схеме замещения.
Рис. 1. Упрощенная модель КМПУ: а) модель
проводящей части плазменного ускорителя; б) сечение плазменного ускорителя; в)
электротехническая схема замещения КМПУ
Для нахождения индуктивности катушки 
воспользовались
известным энергетическим определением: 
, где 
- ток в катушке, 
- энергия магнитного поля [1].
В свою очередь, энергию магнитного поля
определили: 
, где 
- векторный потенциал
поля, 
- вектор плотности тока, 
- объем, занятый токами.
Основное расчетное уравнение: 
.
Для получения индуктивности катушки
последняя формула свелась к выражению:
, (1)
где 
- площадь сечения; 
- внутренний радиус; 
- высота обмотки; 
- ширина обмотки; 
- нижний предел интегрирования по оси 
; 
- функция
распределения векторного потенциала; 
- радиус элементарной кольцевой трубки тока; 
- переменная интегрирования вдоль оси 
; 
- сечение элементарной кольцевой трубки тока.
При наличии четырех колец в индукторе в
соответствии с рис. 2 и формулой (1) индуктивность индуктора равна: 
.
Рис. 2. Сечение индуктора
Индуктивность
коаксиальной системы жгут-электрод 
записана в виде
линейной функции координаты распространения:
.
Постоянный коэффициент
при координате 
называется погонной
индуктивностью (индуктивность единицы длины). После подстановки необходимых
величин получена величина погонной индуктивности: 
.
Расчет поля векторного потенциала проведен
на основе метода конечных элементов [2]. Результаты расчетов приведены ниже
(рис. 3).
а б
Рис. 3. Расчет поля векторного потенциала 
: а) пространственное распределение векторного потенциала 
индуктора; б) линии
равного векторного потенциала
Пользуясь электротехнической
схемой замещения ускорителя, и используя формализм Лагранжа, получено уравнение
для электромеханической системы.
Система нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка нами решена численно методом
Рунге-Кутта с фиксированным шагом, для повышения точности расчета она
предварительно была сведена к системе дифференциальных уравнений первого
порядка:
в векторной форме
,
здесь 
– вектор состояния содержит следующие компоненты: 
– координату, 
– скорость, 
– ток, 
– напряжение на конденсаторе; 
– масса, 
– индуктивность, 
– сопротивление плазмы, 
– расширенная матрица.
В качестве правильности работы
алгоритма расчета проведена проверка баланса энергии рассматриваемой системы
(рис. 4).
Огромное
магнитное давление 
приводит к скоростям
порядка 
. При электродинамическом ускорении часть энергии
трансформируется в кинетическую энергию: 
.
Наличие
реактивных элементов 
обуславливает
взаимное преобразование электрической энергии в магнитную энергию и наоборот:
.
В результате
такого преобразования энергия рассеивается на преодолении сил трения и
сопротивления, возбуждения ударных волн и т.д. Даже при незначительных
омических сопротивлениях плазмы порядка: 
за счет больших токов
в тепло преобразуется энергия: 
.
Теперь
можно записать баланс энергии в виде растрат электростатической энергии
заряженного конденсатора:
(2)
Рис. 4. Схема распределения энергии в плазменном
ускорителе без учета эрозии
Представлен промежуточный этап
разработанной математической модели КМПУ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Морозов
А.И. Введение в плазмодинамику. – М.: Физматлит, 2008. – 613 с.
2.
Колесников П.М. Электродинамическое ускорение плазмы. – М.: Атомиздат, 1971. –
388 с.