Федотова В.С.

Ленинградский государственный университет имени А.С. Пушкина

Об одной задаче в теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Введение. На протяжении многих десятилетий теория периодических решений интенсивно развивается. Большой интерес к этой теории обусловлен, прежде всего, необходимостью изучения колебательных процессов, возникающих в задачах механики, физики, техники и описываемых дифференциальными уравнениями. Этой тематике посвящена обширная литература. Основное внимание уделяется периодическим и почти-периодическим решениям, описывающих нелинейные колебания, периодическим решениям дифференциальных уравнений с малым параметром.

Основы качественного исследования этой проблемы были заложены Пуанкаре [1] и А.М. Ляпуновым [2]. Существенный вклад внесли также А.А. Андронов, С.Э. Хайкин [3], И.Г. Малкин [4], М.А. Красносельский [5], П.П. Забрейко [6]. Эту проблему решали В.Н. Лаптинский [7], Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский [8] А.А. Бойчук [9], С.А. Гребенников, Ю.А. Рябов [10], И. Берштейн, А. Халанай [11], С.А. Вавилов [12, 13], О.Ю. Макаренков [14] и другие математики.

Несмотря на большое количество исследований, в современной математической науке некоторые вопросы теории периодических решений дифференциальных уравнений остаются изученными недостаточно полно. Одним из них является вопрос об условиях существования и создании алгоритмов нахождения периодических решений дифференциальных уравнений.

В настоящей работе исследуется проблема существования T-периодических решений в системах вида

(1)

где - непрерывно дифференцируемая и - непрерывная функции, причем периодически зависит от - с периодом T, - малый параметр.

К системам вида (1) приводит большое число уравнений, описывающих разнообразные нелинейные процессы. Одной из наиболее важных рассматриваемых при этом задач является задача о существовании в системе (1) - периодических решений.

В решении задачи (1) будет использован метод сравнения, разработанный и использованный Вавиловым С.А. в [1, 2]. Этот метод применяется для доказательства существования решений уравнения где - некоторый оператор, действующий на функцию Главная идея метода состоит в сравнении оператора с другим оператором , для которого нормы и , когда определен некоторый шар (внутри которого полагают найти решение) достаточно малы. Здесь и обозначают производные Фреше операторов. Если можно доказать, что решение существует, то метод сравнения гарантирует существование решения в исходном уравнении Доказательство теорем методом сравнения основывается на теории итерационного процесса Ньютона.

Разработке метода решения сформулированной задачи и ее приложениям предпошлем некоторые определения и теоремы, которые будут использоваться в дальнейшем.

Предварительные сведения. Будем использовать следующие обозначения

.

Тогда система

может быть записана в виде

Имеет место следующая лемма Алексеева.

Лемма (Нелинейная формула вариации произвольных постоянных)

Пусть даны две системы

(2)

(3)

и пусть - общее решение (2). Тогда, если - решение системы (3), то оно удовлетворяет интегральному уравнению.

(4)

Здесь через обозначено решение, проходящее через произвольную точку (общее решение).

Постановка задачи. Пусть для любого такое, что в области выполняются следующие предположения:

A.

B.

где - некоторые постоянные, не зависящие от , - соответственно матричная и векторная нормы.

Пусть известно общее решение порождающей системы Согласно лемме Алексеева, решение системы (1) удовлетворяет следующему интегральному уравнению

(5)

Обозначим и пусть Тогда задача разрешимости уравнения (1) может быть сведена к задаче разрешимости следующей системы уравнений

(2)

Взяв в рассмотрение утверждения A, B, можно доказать, что для каждого существует такое, что для всех в соответствующем шаре уравнение (2) имеет решение .

Пусть . Рассмотрим оператор

где - вышеуказанное решение.

Вместе с оператором для достаточно малых рассмотрим приближенный оператор

Теорема 1. Пусть в предположении B выполняются следующие условия:

1. Для достаточно малого и некоторого фиксированного существует удовлетворяющее условию

такое, что при

2. Якобиан для оператора вычисленный на элементе обратим для достаточно малого и где

Тогда задача (2) имеет в шаре решение такое, что при где - решение уравнения выбирая как начальное приближение.

Для доказательства этой теоремы сформулируем одно вспомогательное утверждение.

Будем рассматривать операторы и Обозначим через и их якобианы.

Теорема 2. Предположим, что удовлетворяет уравнению и существует такое, что выполняются следующие условия:

1. Для всех из шара матрицы непрерывны, матрица непрерывно обратима, и имеют место следующие неравенства

2. для всех из шара и, кроме того,

Тогда при условии, что матричная норма находится в соотношении с векторной нормой уравнение имеет решение в шаре которое может быть найдено, используя итерационный процесс Ньютона, применительно к , выбирая как начальное приближение

Доказательство теоремы 1.

Для того, чтобы доказать теорему 1, достаточно доказать, что для малого уравнение имеет решение , удовлетворяющее предельному переходу при

Введем в рассмотрение шар

где

В соответствие с условием 1 теоремы 1 для достаточно малого

Воспользуемся теоремой 2 и возьмем в качестве оператора оператор , а в качестве оператора оператор . Здесь соответствует и соответствует шар соответствует шару

В условиях теоремы 1 проверим выполнение условий теоремы 2.

Предположения A, B состоят в том, что для достаточно малого матрицы , непрерывны для и имеет место следующее неравенство

где когда Тогда из условия 2 теоремы 2 следует, что для каждого имеет место следующее соотношение

(3)

где

Так как формула (3) заключает в себе обратимость матрицы в шаре для достаточно малого и, кроме того,

(4)

Предположения A, B непосредственно заключают в себе выполнение следующих соотношений

(5)

(6)

где

Тогда, согласно соотношениям (4), (5), (6), окончательно получаем, что в условии 1 теоремы 2 когда , а выполнение условия заключает в себя справедливость неравенства теоремы 2 для достаточно малого

Для того, чтобы проверить справедливость условия 2 теоремы 2, используют следующее неравенство

которое следует из условий A, B, здесь когда

Тогда когда , и выполнение условия заключает в себе справедливость для достаточно малого и неравенства для когда достаточно большое и достаточно малое. Теорема 1 доказана.

Литература:

1. Пуанкаре А. Избранные труды. – М.: Наука, Т. 1, Т. 2, 1971, 1972. – 771 с., 801 с.

2. Ляпунова А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.: Гостехиздат, 1950. – 472 с.

3. Андронов А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: ОНТИ, 1937.

4. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 496 с.

5. Красносельский М.А., Стрыгин В.В. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений// ДАН СССР, 1964. – Т. 156, №5. – сс. 1022-1024.

6. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. – М.: Наука, 1975. – 510 с.

7. Лаптинский В.Н. О построении периодических решений дифференциальных уравнений// ДУ, 1984. – Т. 20, № 3. – сс. 536-539.

8. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. – 503 с.

9. Лыкова О.Б., Бойчук А.А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях// Укр. мат. журн., 1988. – Т. 40, №1. – сс. 62-69.

10. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.: Наука, 1979. – 472 с.

11. Берштейн И., Халанай А. Индекс особой точки и существование периодических решений систем с малым параметром//ДАН СССР, 1956. – Т. 111, №5. – сс. 923-925.

12. Вавилов С.А. Операторный метод исследования резонансных задач механики: Дисс. на соиск. уч. степ. д. ф.-м. н. – Санкт-Петербург, 1993.

13. Vavilov S.A., Yuhnevich S.V. On the solvability of one class of boundary value problems// Nonlinear Vibration problems, 1993. – V. 25. – pp. 476-482.

14. Макаренков О.Ю. Методы топологической степени в задачах И.Г. Малкина – В.К. Мельникова для периодически возмущенных систем: Дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. – Воронеж, 2006.