Некоторые частные решения системы уравнения Навье-Стокса.

А.П. Мустафаев

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

В теории установшегося плоскопараллельного движения несжимаемой жидкости принято, что компоненты вектора скорости и давления удовлетворяют линейной системе уравнений с частными производными Навье-Стокса.

Уравнения Навье-Стокса является одним из важнейших в гидродинамике и принимается в математической моделировании многиих природных явлений и технических задач.

Система состоит из двух уравнении:

· уравнение движения

· уравнение неразрывности

До сих пор решение этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. В настоящее время существует несколько ситуации (обусловленных простой геометрий) которые решены аналитическом виде. В остальных случаях используется численные моделирование.

В настоящей работе делается попытка дать на элементарном уровне представление о применение метода характеристик к решению линейной системы уравнении с частными производными Навье-Стокса

(1)

где , при т.е мы покажем, что с помощью некоторого преобразования связанных с характеристик, можно получить частный вид общего решения системы через вполне определенные функции.

Пусть , тогда имеем систему вида

()

При предположении непрерывной дифференцируемости до третьего порядка, система () равносильна системе

(2)

обозначим то получим уравнения Лапласса

(3)

Далее с помощью замены

(4)

уравнение Лапласса приводиться к дифференциальному уравнению вида

(5)

Решая полученные уравнения и переходя с старым переменным и система (2) приводится к виду

(6)

Тогда частный вид общего решения системы () имеет вид

(7)

где - произвольные постоянные а и линейные функции своих аргументов.

Теперь рассмотрим 2-й случай т.е.

тогда система (1) приводится к виду

()

Аналогично при предположении непрерывной дифференцируемости и до третьего порядка системы () равносильна системе

(8)

Далее с помощью замены

(9)

Первое уравнение системы (8) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Решая полученные уравнения и переходя к старым переменным и систему (8) запишем в виде

(10)

Тогда частный вид общего решения системы (10) имеет вид

(11)

Правильность полученных решений легко можно проверить подставляя (11) и (7) соответственно системе и (). Следует однако, заметить, что полученные решения позволяют легко найти частные решения краевых задач для рассматриваемой системы уравнений.

Литература

1. А.В. Бицадзе. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М; Наука, 1981

2. А.П. Мустафаев. Некоторые частные решения уравнения Лапласса.

Материалы IV международный научно-практической конференций «Научная мысль информационного века-2008». Том 13

Publishing House «Education and Science» S.p.o Прага (Чехия)