К.ф.-м.н.
Габасова О.Р.
Белорусский национальный технический
университет
О представлении
решения одной линейной гибридной системы управления
1. Пусть рассматривается
задача оптимального управления для гибридной [1] системы:
,
(1)
(2)
(3)
(4)
. (5)
Здесь ,
– периоды квантования
времени,
– заданные натуральные числа;
,
;
;
;
;
;
;
,
– кусочно-непрерывные функции;
,
,
, – непрерывные функции;
– состояние непрерывной части системы в момент времени
,
– состояние дискретной части системы,
, – значения управляющих воздействий.
Пусть управляющие
воздействия , задачи (1) – (5) принадлежат классу дискретных функций
. Каждой паре управляющих воздействий (
соответствует единственная траектория (
описываемая непрерывной функцией
и кусочно-непрерывной
функцией
Пару
назовем программой, если на ней выполняются (5)
и соответствующая ей траектория системы (2), (3) удовлетворяет ограничениям
(4). Программа
называется оптимальной,
если она доставляет критерию качества (1) максимальное значение.
2. Формула Коши. Для исследования поставленной задачи важное значение как и в случае
обыкновенной линейной системы имеет формула Коши для решений. Пусть ,
,
– управляющие воздействия,
, – соответствующая им траектория системы (2) с начальным условием
(3). В силу (2) имеет место тождество
.
Умножим обе части тождества на пока
неопределенную матричную функцию
. (6)
и проинтегрируем (6) в пределах от до
:
, (7)
. (8)
Пусть функции
, дифференцируемыми по
. Преобразуем (7), (8):
;
(9)
.
Т.к. ,
,
то:
; (10)
=.
Используя (9), (10) для (7), (8) получим:
(11)
;
(12)
.
Пусть функция (5)
удовлетворяет соотношениям
(
если
).
Тогда соотношения (11), (12) примут
вид
,
(14)
Формулы (13), (14) определяют решение
для уравнений (2) в задаче (1) – (5).
Можно получить другое, эквивалентное
представление для решений (2), которое более удобно для вычислений. Сделаем
замену независимой переменной и обозначим
. Получим
Из (16) видно,
что значения функции
, в точках
,
, содержит импульсную составляющую
. Матричная функция
, удовлетворяет уравнению
(17)
Сужение функции на множество
обозначим через
. Тогда получаем
(18)
при
Функция , на промежутках непрерывности является решением уравнения
(19)
с начальным условием В точках
она совершает скачки:
.
Следовательно, формула Коши (14) примет вид
,
Опишем процедуру
вычисления функций (15) – (19). Учитывая тождество решаем однородное уравнение
, с начальным условием
и находим
,
. Затем, подставив найденную функцию
, во второе уравнение (15), вычисляем
,
. Повторив описанную процедуру на последующих промежутках, вычислим
,
. Из (17) находим
. Поскольку
, то уравнение (19) на промежутке
становится однородным.
Решаем его с начальным условием
Из (19), находим
,
. Из (18), построим
функцию
,
, удовлетворяющую уравнению (19) с начальным условием
Продолжая процедуру, построим
,
,
. На основе полученных формул для решения уравнений (2)
исследуется задача оптимального управления (1) – (5), сформулированная в п.1.
Литература
1.
Borelli F. Constrained optimal control of linear and hybrid systems // Lecture
Notes in Control and Information Sciences. – Springer, 2003. – Vol.290. – 293
p.
2. Габасова О.Р. Оптимизация линейных гибридных систем управления // Вестник БНТУ.
–2007. – № 2. – С. 71 – 75.