В. А. Бельский

Гомельский инженерный институт МЧС РБ, Беларусь

О полиномиальных уравнениях,

эквивалентных заданному уравнению

Рассмотрим дифференциальную систему

(1)

с общим решением в форме Коши . Если система (1) имеет - периодическую по правую часть, то, как известно, для любого R отображение Пуанкаре (отображение за период) [1] для системы (1) определяется формулой , где обычно считают равным нулю. Если при каком-либо нам удалось найти отображение Пуанкаре, то из уравнения будут найдены начальные данные всех - периодических решений системы (1).

Мироненко В. И. предложил для определения отображения за период считать и ввел в рассмотрение функцию , которую он назвал отражающей функцией (ОФ). В [2, с. 65] показано, что если известна ОФ системы (1), то отображение за период для данной системы можно найти по формуле , а решение будет - периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы .

Две системы называют [2] эквивалентными, если их ОФ совпадают.

Предположим, что ОФ системы (1) неизвестна, но нам удалось построить другую систему

, (2)

эквивалентную системе (1). В. И. Мироненко показал, что: 1) если обе системы - периодические, то их отображения за период совпадают; 2) если система (1) - периодическая, а система (2) – нет, то любому - периодическому решению системы (1) будет соответствовать решение системы (2), удовлетворяющее краевому условию ; 3) если обе системы не являются - периодическими, то они имеют одинаковые операторы сдвига [1] вдоль решений рассматриваемых систем.

Таким образом, метод ОФ позволяет в ряде случаев решать важные задачи качественной теории дифференциальных уравнений.

В [2] намечены пути решения указанных задач и в случае, когда ОФ нам неизвестна. В частности, доказано, что если некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

, (3)

то возмущенная дифференциальная система

, (4)

где , – произвольные непрерывные скалярные нечетные функции, эквивалентна исходной системе (1).

В данной работе этот результат используется при исследовании дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью

(5)

с непрерывными на R коэффициентами . Согласно сказанному выше, нам важно для исследуемого уравнения (5) научиться строить эквивалентные ему другие уравнения. Мы сможем это сделать, если сможем решить уравнение (3). Разумеется, уравнение (3), являясь уравнением в частных производных, имеет бесконечно много решений, и найти все эти решения в большинстве случаев невозможно. Поэтому мы будем искать только полиномиальные решения уравнения (3), а именно, решения вида , где коэффициенты , будем считать дифференцируемыми на R функциями. Естественно, что эта задача оказывается значительно проще.

Установлено, что множество дифференциальных уравнений, которые могут быть построены описанным выше способом, а также характер взаимосвязей между этими уравнениями и исходным уравнением, существенно зависят от количества линейно независимых полиномиальных решений уравнения (3). Показано, что таких линейно независимых полиномиальных функций может быть бесконечное множество, три, две, одна, а также могут быть построены уравнения, для которых вообще не существует полиномиальных решений соответствующего уравнения (3). В частности, автором доказана

Теорема. Для любого уравнения Риккати

, (6)

с непрерывными на R коэффициентами существуют ровно три линейно независимые полиномиальные функции вида , удовлетворяющие уравнению (3).

Доказательство. Запишем для уравнения (6) уравнение в частных производных (3).

. (7)

Будем искать в виде

, (8) (9)

где коэффициенты непрерывны на R. Перепишем уравнение (7) в виде

.

Приводя подобные слагаемые в левой части последнего уравнения, получим

. (9)

Если функция вида (8) является решением уравнения (7), то уравнение (9) обращается в тождество и, значит, функции , являются решением однородной линейной системы дифференциальных уравнений

(10)

С другой стороны, если функции , являются решением системы (10), то полином (8) удовлетворяет уравнению (7). Таким образом, нахождение полиномиальных решений уравнения (7) сводится к решению системы (10). Фундаментальная система решений системы (10) всегда существует [3] и состоит из трех линейно независимых решений , . Это гарантирует нам существование трех линейно независимых полиномиальных функций

, ,

,

удовлетворяющих уравнению (7). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что любое уравнение, которое может быть записано в виде , где – произвольные непрерывные нечетные функции, имеет такой же оператор сдвига вдоль решений , как и исходное уравнение Риккати.

В таком же направлении исследовано и уравнение Абеля.

Литература

1. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1966, – 332 с.

2. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. Мин. образования РБ, УО «ГГУ им. Ф. Скорины», – Гомель, 2004. –196 с.

3. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения. Изд. 3-е доп. Минск, «Вышэйшая школа», 1968. С. 277-279.