Математика
1. Дифференциальные и интегральные
уравнения
Шилинец В. А., Пташинская О. И.
Белорусский государственный педагогический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПУСТОТЕ
В ряде работ [1-3]
изучались так называемые функционально-инвариантные решения системы
дифференциальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте
(1)
где − вектор
электрической напряженности поля,
− вектор
магнитной напряженности поля,
− скорость света
в пустоте.
В работе [3] была
поставлена и решена задача об интегральном представлении некоторых видов решений
системы уравнений Максвелла. Целью данного исследования является получение
интегрального представления Фёдорова для новых видов решений системы (1), какие
не рассматривались в работе [3], а также решение краевой задачи для
системы (1).
Приведём необходимые для
дальнейшего определения.
Определение 1. Если
вектор , где
− скалярные
комплексные функции от
, является решением системы (1), то решением этой системы
будем называть и гиперкомплексную функцию
,
где .
Определение 2. Гиперкомплексная функция
называется моногенной
в смысле
В.С. Фёдорова (F-моногенной) [4] по
другой гиперкомплексной функции в некоторой
односвязной области
действительного евклидова пространства
, если найдётся такая третья функция
от
, что для любой фиксированной точки
и любой переменной
точки
имеем
, где
(аналогично для
),
.
Определение 3. Решение
системы (1) называется
функционально-инвариантным, если любая функция, F-моногенная по
, например, аналитическая от
, также является решением системы (1).
В работе [1]
показано, линейная от ,
,
,
функция
(2)
является функционально-инвариантным
решением системы (1), если ,
− произвольные
константы, а
,
,
,
, (3)
где ,
,
.
Задача. Найти
интегральное представление Фёдорова для F-моногенных по функций, которые, как
известно (определение 3), являются решениями системы (1) и при этом отличаются
от функций − решений системы (1), для которых интегральное представление
Фёдорова построено в статье [3].
Решение. Как известно [5], для
любой функции , F-моногенной по
в области
, имеет место интегральное представление
, (4)
если функция удовлетворяет в
области
условиям
,
, (Ф)
где ,
,
,
,
,
,
,
,
, под знаком интеграла
,
− направляющие
косинусы внешней нормали к
,
,
,
.
Представление (4) в
дальнейшем будем называть представлением Фёдорова, а условия (Ф) −
условиями Фёдорова.
Легко проверить, что
функционально-инвариантное решение системы (1) − функция , определяемая формулой (2) при
,
,
,
, удовлетворяет условиям Фёдорова (Ф). Необходимо отметить,
что получено новое функционально-инвариантное решение системы Максвелла (1),
которое не было получено в работе [3] и которое удовлетворяет условиям
Фёдорова (Ф).
Таким образом, для любой
функции , F-моногенной по функции
в области
, являющейся как и функция решением системы Максвелла (1),
получим
где ,
определяются по
формулам (3) при условии, что
,
,
,
.
Задача решена. Получено
интегральное представление Фёдорова для нового класса решений системы Максвелла
(1).
Замечание. Полученное
интегральное представление позволяет решить следующую краевую задачу.
Задача. Пусть функция , определяемая формулой (2) при
,
,
,
, и функция
, моногенная в смысле В. С. Фёдорова по функции
, определены на некоторой замкнутой трёхмерной поверхности
, гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой
для возможности использовать формулу Остроградского (
− внутренность поверхности
).
Требуется найти в любой
точке значение функции
, моногенной в смысле В. С. Фёдорова по
, если известны её значения на поверхности
.
Литература
1. Стельмашук Н.Т. Об одном исследовании системы
Максвелла с помощью F-моногенных функций // Журнал
вычислительной математики и
математической физики. − 1967. − Т.7,№2. − С.431-436.
2. Стельмашук Н.Т. Решение некоторых систем дифференциальных
уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. − 1977. − Т.12,№8.
− С.1427-1433.
3. Стэльмашук М.Т., Шылінец
У.А. Аб адной краявой задачы для функцыянальна-інварыянтных рашэнняў сістэмы
Максвэла // Весці БДПУ. − 1994. − №1. − С.91-95.
4.
Федоров
В.С. Основные свойства обобщенных моногенных функций // Известия вузов.
Математика. − 1958. − №6. − С.257-265.
5.
Федоров
В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в пространстве // Известия вузов. Математика. − 1957. − №1. −
С.227-231.