Мустафаев А.П.

Семипалатинский государтсвенный университет имени Шакарима

Элементарное решение системы уравнений эллиптического типа первого порядка

Большое значение, особенно в прикладных вопросах, имеет получение явных формул интегральных представлений решений систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Мы знаем, что в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений или их систем различного порядка для, которых общее решение выражается через вполне определенные функции, а неизвестными являются только параметры , в случае уравнений или системы уравнений в частных производных вид функций через которые выражается их решения не конкретизирован (с помощью одного только уравнений эти функции найти нельзя).

Для того, чтобы из бесконечного множества решений дифференциальных уравнений выделить частное решение, описывающее конкретный физический процесс, необходимо задать некоторые дополнительные условия. Обычно эти условия следуют из физической постановки задачи и физического смысла искомой функции.

Мы в этой работе покажем, что с помощью некоторого преобразования, связанного с различными комбинациями характеристик, можно найти в явном виде частный вид общего решения системы уравнений эллиптического типа.

Известно, что при постоянном общее решение системы

(1)

имеет вид

(2)

где произвольная, аналитическая функция комплексного переменного

. (3)

Дифференцируя первое уравнение системы по , а второе по и вычитая одно уравнение от другого, приводим систему в виду

(4)

Далее с помощью замены

. (5)

первое уравнение системы (4) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению вида

. (6)

Отсюда

(7)

где - производные постоянные.

Переходя к старым переменным и , систему (4) записываем в виде

. (8)

Отсюда

. (9)

Полученные решения позволяют легко найти частные решения некоторых краевых задач для рассматриваемой системы уравнений.

Литература:

1. А.В.Бицадзе, Д.Ф.Калиниченко Сборник задач по уравнениям математической физики М., «Наука», 1977 г.

2. А.П.Мустафаев Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Материалы IV международной научно-практической конференции «Научная мысль информационного века – 2008» том 13, Publishing House «Education and Science» s.r.o. Прага (Чехия).