Педагогические науки/ Проблемы подготовки специалистов

Шанкибаев Б.Н.

Центрально-Азиатский университет, Республика Казахстан

Профессиональная направленность при обучении

студентов экономических специальностей ВУЗов

разделу «Транспортная задача»

Как известно, математическая модель классической транспортной задачи имеет вид, [1, 2, 3]: найти минимум (максимум) функции

(1)

при ограничениях:

(2)

(3)

(4)

Транспортная задача имеет большие приложения в задачах экономического анализа. Приведем несколько примеров.

1. Оптимальное закрепление станков, [1, 2].

Пусть на предприятии имеется видов станков, максимальное время работы которых равно часов. Каждый из станков может выполнить видов операций. Суммарное время выполнения каждой операции соответственно равно . Известна производительность , -го станка при выполнении -й операции.

Определить сколько времени и на какой операции нужно использовать каждый станок, чтобы обработать максимальное количество деталей.

Обозначим через - время, которое -й станок должен работать на -й операции. Тогда математическая модель этой задачи будет задаваться в виде модели (1)-(4).

Здесь - общее количество обрабатываемых деталей; условие (2) означает, что максимальное возможное время работы - го станка ограничено значением ; условие (3), что ограничено время отведённое на выполнение -операции величиной .

2. Оптимальное назначение или проблема выбора, [1, 2, 3].

Пусть имеется групп лиц по , человек в каждой из групп и категорий работ по , единиц в каждой из видов работ. Известны производительность лица -группы при выполнении -й категории работ. Необходимо определить сколько лиц, из какой группы и на какую категорию назначить, чтобы суммарная производительность была максимальной.

Обозначим через количество лиц -й группы, назначеных для выполнения работ -й категории. Тогда задача также формулируется в виде модели (1)-(4), с дополнительным ограничением:

. (5)

Здесь - суммарная производительность; условие (2) означает, что количество работников -й группы, занятых на всех работах, равно ; условие (3), что количество всех работников, занятых на выполнение -й категории работ, равно величине .

3. Увеличение производительности транспорта за счёт минимизации порожнего пробега, [3, 4].

Известно, что за смену от поставщиков к потребителям перевозится однородного груза. В результате транспортного процесса у потребителей в течение смены должно образоваться:

(6)

автотонн порожних автомобилей, а для вывозки грузов поставщикам под погрузку необходимо подать автотонн, удовлетворяющих системе:

. (7)

Сформулируем задачу минимизации порожнего пробега.

Пусть у потребителей имеется соответственно порожних автотонн, которые необходимы поставщикам соответственно в количестве автотонн. Известны расстояния от каждого потребителя до каждого поставщика. Необходимо составить такой план работы автомобилей, чтобы они вывезли запланированные грузы и совершили при этом минимальный суммарный порожний пробег.

Обозначим через количество порожних автотонн, которые должны быть поданы после разгрузки от -го потребителя к -му поставщику. При предположении, что ,

математическая модель задачи имеет вид (1)-(4).

4. Распределение парка строительных машин, [5].

Пусть - количество возводимых объектов; , - общий объём работ на -м объекте (в условных единицах); - количество типов строительных машин; , - общее число машин -го вида; -производительность машин -го вида при работе на -м строительном объекте; -приведённые затраты на производство работ машиной -го вида на -м строительном объекте.

Обозначим через - количество машин -го вида, используемых на -м строительном объекте.

Необходимо составить такой план распределения машин по объектам, чтобы был выполнен весь объём работ с наименьшими затратами.

Математическая модель задачи записывается в виде: найти наименьшее значение линейной функции

(8)

при ограничениях:

(9)

(10)

(11)

Здесь - суммарные затраты на производство работ всеми автомобилями; условие (9) означает, что весь объём работ на каждом объекте должен быть выполнен полностью; условие (10) – максимальное количество машин каждого вида ограничен величиной .

Полученная модель является моделью целочисленной распределительной задачи.

К аналогичной модели сводится распределение самолётов по воздушным линиям, приведённая в работе [2].

5. Планирование перевозки взаимозаменяемых продуктов, [1, 2, 3].

Пусть требуется составить план перевозки топлива разных сортов из пунктов производства в пунктов потребления. Обозначим через спрос на топливо -го пункта потребления. Будем выражать спрос в приведённых единицах, например, в калориях теплоты.

Под топливом разных сортов подразумевается не только горючее разных видов, но и топливо одной и той же марки, добываемое в разных районах. Пункт добычи нескольких различных сортов топлива будем рассматривать как несколько различных пунктов производства. Таким образом, число пунктов производства и число сортов топлива в этой задаче совпадают.

Пусть количество добытого топлива -го сорта равно тонн; - коэффициент приведения -го сорта топлива относительно - го потребителя.

Обозначим через затраты на перевозку одной тонны -го сорта - му пункту, а через - количество топлива -го сорта, поставляемое - му потребителю.

Задача заключается в составлении плана перевозок, обеспечивающего удовлетворение спроса всех потребителей в топливной энергии наиболее экономичным образом.

Математическая модель задачи имеет вид: найти минимальное значение линейной функции

(12)

при ограничениях:

(13)

(14)

(15)

Здесь - суммарные транспортные расходы на перевозку топлива; условие (13) означает, что объём доставленного в каждый пункт потребления топлива в приведённых единицах теплоёмкости равняется спросу этого пункта; условие (14) – общий объём топлива, направленный во все пункты потребления из - го пункта производства, не превышает запасов топлива - го сорта.

Задача (12)-(15) является моделью распределительной задачи.

6. Оптимизация структуры энергетического баланса [1, 2, 3].

Ряд важных задач структуры энергетического баланса сводится к модели распределительной задачи.

Топливно-энергетический баланс определяет комплексную увязку производства и использования энергетических ресурсов в энергии всех видов, как по отраслям и районам страны, так по народному хозяйству в целом. Основная задача разработки перспективных энергетических балансов заключается в выборе рациональных пропорций производства и использования энергетических ресурсов и энергии всех видов, при которых обеспечивается минимум народнохозяйственных затрат.

Пусть рассмотрению подлежат видов энергетических ресурсов и центров производства энергии. Каждый вид энергетических ресурсов связывается с его сортом или с бассейном, где он добывается. Каждый энергетический центр будем связывать с установкой, преобразующей тот или иной вид ресурсов в энергию.

Обозначим: - расход энергетического ресурса - го вида - й энергетической установкой; - требуемое годовое производство энергии - й энергетической установкой; - годовая добыча - го энергетического ресурса; - коэффициент топливоиспользования - й установкой - го ресурса; - затраты на производство - й установкой - го ресурса.

Математическая модель задачи имеет вид: найти минимальное значение линейной функции

(16)

при ограничениях:

(17)

(18)

(19)

Здесь - суммарные затраты на производство заданного количества энергии; условие (17) фиксирует запланированное производство каждой энергетической установки; условие (18) представляет ограничение по добыче или по запасам разных энергетических ресурсов.

Литература

1. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование, теория, методы и приложения. М., «Наука», 1969.

2. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. М., «Наука», 1969.

3. Шанкибаев Б.Н. Математическое программирование. Монография. Алматы, «Эверо», 2004, 268 с.

4. Шанкибаев Б.Н., Нургазин Р.Н. Задача планирования работы автомобильного транспорта при перевозке грузов в заданном регионе. «Методологические проблемы перспективного планирования», Алматы, 1988, с. 166-171.

5. Шанкибаев Б.Н. Об одной задаче распределения парка строительных машин. «Вопросы использования энергетических, материальных и людских ресурсов в строительстве», Алма-Ата, 1984, с. 59-65.