Кладун Е.А., Мельник В.Н., Ковалец О.Я., Кузьменко Е.В.
Национальный технический университет Украины «КПИ»
ДИФРАКЦИОННЫЕ ЕФФЕКТЫ НА ПОДВЕСЕ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО
ИНТЕГРАТОРА
Дифференциальные
уравнения упругой цилиндрической поверхности кожуха интегратора запишем в виде –
; (1)
,
где - коэффициент (
,
- толщина и радиус цилиндрической оболочки);
и
- соответственно тангенциальная и
радиальная составляющие перемещения боковой поверхности (рис.1);
;
- центральный угол;
- длина цилиндра.
Граничные условия зададим в виде:
;
;
(2)
Пусть в начальный
момент времени с упругой оболочкой начинает
взаимодействовать волна давления
, (3)
где
- амплитуда плоской
монохроматической волны;
- координаты точки
поверхности;
;
;
- косинус угла между нормалью
к фронту плоской волны и
-нормалью к поверхности.
Решение систем уравнений (1) и (2) будем искать в виде
рядов Фурье функций и
в
прямоугольнике
(4)
В соответствии с принятыми граничными условиями, ряд Фурье
по переменной строится в виде –
(5)
здесь - числа полуволн в плоскости шпангоута и
продольной соответственно.
Вычислим коэффициенты
Фурье функции в прямоугольнике (4):
, (6)
где
(7)
Полагая, что ,
получим –
(8)
Таким образом,
выражение (6) можно преобразовать к виду-
, (9)
если .
В окончательном виде
соотношение (3) представляется так –
(10)
Если подставить (5) и (10) в исходную систему дифференциальных
уравнений (1), то получим:
(11)
где ;
.
При эта система уравнений преобразуется:
(12)
Отсюда следует, что
если
(13)
то .
Если же, наоборот,
(14)
то может принимать произвольные значения.
Вследствие этого, в
качестве исходного, зададим–
при сформированном выше
ограничении .
Коэффициенты без особых затруднений найдутся из выражений
(12) –
, (15)
причем выполнение условия (13)
здесь не обязательно.
Вычислив определитель
системы (11)
(16)
при условии, что он не равен нулю
(),
несложно найти и искомые неизвестные величины:
(17)
где ;
.