Технические науки/2.Механика

К.т.н. Цепенюк М.И.

Тернопольский государственный технический университет им. И.Пулюя

Оптимизация параметров механизма подъема стрелы крана при динамических нагружениях

При работе крана подъем груза осуществляется при помощи механизма подъема груза, а также с использованием механизма подъема стрелы. Интенсификация современного производства приводит к увеличению скоростей перемещения транспортируемых грузов, что вызывает увеличение динамических нагрузок. Поэтому выбор таких параметров подъемных механизмов, при которых в их элементах имеют место минимальные динамические нагрузки, является актуальной задачей в процессе проектирования грузоподъемных машин.

Цель настоящего исследования – определение соотношения приведенной массы движущихся частей механизма подъема стрелы и массы груза и соотношения жесткостей канатов подъема стрелы и груза, при которых в канатах будут минимальные динамические нагрузки при подъеме груза стрелой. Расчетную схему механизма подъема стрелы представим в виде двухмассовой системы (рис. 1).

Рис. 1.

Здесь – приведенная масса движущихся частей механизма подъема стрелы; – масса груза; , – жесткости канатов подъема стрелы и груза; S,S, S – координаты соответственно массы , конца стрелы (точки ) и массы груза ; – длина стрелы; – высота мачты (стойки); – сила веса груза; – приведенная движущая (тормозная) сила, состоящая из силы , зависящей от и угла , и из ускоряющей (замедляющей) силы .

Составляя и решая дифференциальные уравнения движения системы, можно без затруднений получить (при некоторых допущений) формулы для определения максимальных динамических нагрузок в канатах подъема стрелы и груза при подъеме груза стрелой :

; (1)

. (2)

Примем обозначения

; .

Тогда выражения (1), (2) запишем в виде

; . (3), (4) Сопоставляя зависимости (3) и (4), имеем

. (5)

В качестве переменных проектирования примем величины ,.

В связи с тем, что в равенстве (5) коэффициент , величины , будут иметь экстремальные значения при одинаковых значениях переменных проектирования ,. Поэтому функционал качества можно принять в виде

. (6)

Пусть на значения переменных проектирования наложены ограничения

; , (7)

где , , , – положительные числа.

Выражения (7) запишем в виде

; ; (8)

; .

Таким образом, задача оптимального проектирования приведена к минимизации функционала качества (6) при четырех ограничениях в виде (8), наложенных на переменные проектирования. Для решения задачи используем условия Куна-Такктера (2).

В нашем случае . Функции , задающие ограничения, выпуклы, так как они линейны по .

Используя (6), матрицу получим в виде

. (9)

Матрица (9) положительно определенная. Следовательно задача выпукла и если существует решение, удовлетворяющее условиям Куна-Таккера, то оно будет оптимальным решением сформулированной задачи нелинейного программирования.

Согласно условиям Куна-Таккера, если точка является точкой относительного минимума в задаче нелинейного программирования, то необходимо чтобы существовал вектор , такой, что

; ; ; (10)

; ,

где – лагранжиан.

В нашем случае лагранжиан имеет вид

(11)

После подстановки значений в выражения (10), имеем

; ;

; ; (12)

;

;

Теперь необходимо решить шесть уравнений (12) относительно неизвестных , , , , ,. Трудность решения заключается в том, что согласно первым четырем уравнениям из (12) или . Поэтому необходимо рассмотреть шестнадцать вариантов возможных значений , .

Исследовав все возможные варианты, устанавливаем, что при , удовлетворяются условия (12) Куна-Таккера.

Таким образом, если переменные проектирования , примут наибольшие значения, то функционал качества будет минимальным. По отношению к рассматриваемой физической системе это значит, что если отношения масс и жесткостей будут максимальными из допустимых, то динамические нагрузки при подъеме груза стрелой в канатах подъема стрелы и груза будут минимальными.

Отметим, что выбор оптимальных параметров гидрокранов, расчетные схемы которых при исследовании подъема груза стрелой могут быть представлены в виде двухмассовой системы, можно произвести по аналогичной схеме.

Литература:

1. М.С. Комаров. Динамика грузоподъемных машин. – М.–К.: Машгиз, 1962, 268 с.

2. Э. Хог, Я. Арора. Прикладное оптимальное проектирование.–М.: Мир, 1983, 480 с.