Математика/4.Прикладная математика

Рябоштан А.Ф., к.т.н. Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет

сельского хозяйства им. П. Василенко

Теория огибающих и ее использование геометрии поверхностей лопаток газовых турбин

         Рассмотрим некоторые сведения из классической теории огибающих, необходимые в дальнейшем для исследования вопросов наличия и единственности решения, возможности получения уравнения огибающей поверхности.

         При конструировании м аналитическом описании поверхностей, огибающих заданное множество и удовлетворяющих заданным позиционным и дифференциальным условиям, основным условиям, основным приемом является наложение связей на параметры множества в процессе удовлетворения заданным условиям и сведение задачи к определению огибающей одно- или двупараметрического множества поверхностей.

         Для существования огибающей однопараметрического множества  поверхностей  необходимо выполнение следующих условий :

         1. Функция  в некоторой области пространства  обладает непрерывными частными производными , не обращающимися одновременно в нуль, т.е

                                                      (1)

         геометрически означающее отсутствие особых точек поверхности в указанной области.

         2. Функция  имеет непрерывные частные производные и и смешанные производные , ,  для всех , при которых множество  проходит через точки области .

         3. В области  удовлетворяется система

,                                        (2)

 ранг матрицы

                                                       (3)

равен двум.

         Тогда на каждой поверхности из  (при ) выделяется характеристика (ее уравнение(2)), точки которой регулярны при . Геометрическое место таких характеристик дает огибающую семейства .

         В общем случае при исключении параметра  из (2) получаем дискриминантную поверхность, заключающую в себе собственно огибающую, геометрическое место особых точек и стационарные поверхности, для которых  .

         Теория огибающих тесно связана с теорией дифференциальных уравнений в частных производных, именно исследование этой связи, развитие геометрического понятия характеристик и геометрического подхода к решению дифференциальных уравнений. В дальнейшем мы будем иметь в виду простейшее определение характеристики ,как линии пересечения двух бесконечно близких огибающих поверхностей  и , при

         Множество характеристик из (2) принадлежит дискриминантной поверхности и имеет в общем случае огибающую, называемую ребром возврата, и определяемую системой уравнений.

                                            (4)

         если функциональный определитель

                                                    (5)

При параметрическом представлении множества

                             (6)

функции (6) должны быть непрерывны и иметь непрерывные частные производные в каждой точке области изменения  и , а ранг матрицы

                                                    (7)

должен быть равен двум.

         Характеристика определяется уравнениями (6) совместно с

                                           (8)

при постоянном .

             Имеет место теорема : в окрестности любой точки множества, определяемого уравнениями (6) и (8), для которой

                                            (9)

и , система уравнений (6) и (8) определяет поверхность , огибающую множество .

         Ребро возврата определяется уравнениями (6) и (8) совместно с .

         Для двупараметрического множества

                                          (10)

огибающая определяется системой уравнений

                                          (11)

Система (II) разрешима относительно в виде непрерывных функций с непрерывными частными производными I порядка.

                                  (12)

т.е имеет огибающую поверхность, если

1.  имеют непрерывные частные производные по  в области  для значений параметров  и , обеспечивающих прохождение поверхностей (I0) через точки области.

2. Для системы (II)

,                                 (13)

Если огибающая получена из системы (II), то она касается каждой огибаемой поверхности в точке, в отличие от ранее рассмотренного  множества, где качание происходит по характеристике.

         Второй возможностью определения огибающей множества (I0) является переход к однопараметрическому множеству при помощи функции , обладающей непрерывными частными производными в области изменения параметров  и , не обращающимися одновременно в нуль. Огибающая определяется системой уравнений

                                       (14)

         Указанный подход можно осуществить в случае многопараметрического множества , дополнительно к которому заданы уравнения связи параметров. Например, для  поверхностей и двух функций и .

                                 (15)

огибающая определяется системой уравнений

                                      (16)

         При исключении параметров получаем дискриминантную поверхность, в состав которой входит и огибающая, дифференциально-геометрическое исследование которой (наличие особых точек и т.д) производиться обычным путем.