УДК 517.95

Турметов Б.Х., Шыналиев К.М.

Об одном методе построения решения

обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка

В настоящей работе рассматривается операторный метод построения решения обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Пусть . Рассмотрим следующие операторы дробного интегро-дифференцирование дробного порядка (см.[1])

,

,

,

Здесь называется оператором интегрирования порядка в смысле Римана-Лиувиля, а и операторами дифференцирования порядка в смысле Римана-Лиувиля и Капуто соответственно.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

, (1)

где

Заметим, что исследуемый метод был рассмотрен для дифференциальных уравнений целого порядка в работе [2].

Пусть , . Легко показать, что

.

Введем коэффициенты , , , .

и рассмотрим функции

, ,

где и .

Теорема 1. Пусть и принимает значения . Тогда справедливы следующие равенства

, ,

Теорема 2. Пусть и . Тогда справедливы следующие равенства

, ,

Следствие 1. Если и принимает значения , то функции удовлетворяют уравнению (1) в случае оператора и .

Следствие 2. Если и принимает значения , то функция

является решением следующей задачи Коши

,

,

.

Следствие 3. Если и принимает значения , то функция

является решением следующей задачи Коши

, ,

,

где .

Замечание 2. Легко показать, что для коэффициентов и при справедливы следующие равенства

, .

Следовательно, для функций и имеют место представления

, .

А тогда

,

функции типа Миттаг-Лефлера и поэтому результаты следствия 2 и 3 совпадают с результатами работы [1,3].

Следствие 4. Если и принимает значения , то функции , ,

удовлетворяют уравнению (1) в случае оператора .

Следствие 5. Если и принимает значения , то функции , ,

удовлетворяют уравнению (1) в случае оператора .

ЛИТЕРАТУРА

Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.И. Интегралы ипроизводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника. 1987. – 688с.

2.Бондаренко Б.А. Операторные алгоритмы в дифференциальных уравнениях. – Ташкент,Изд.” Фан”., 1984. – 184с.

3.Kilbas A.A.New trends on fractional integral and differential equation. Ученые записки Казанского государственного университета.2005, т.147. кн.с.72-106.