Н. Т. Стельмашук, В. А. Шилинец

Белорусский государственный педагогический университет

Интегральные представления решений системы дифференциальных уравнений, определяющей функционально-инвариантные вектор-аналитические функции

Функционально-инвариантные решения некоторых уравнений математической физики изучались многими авторами [1-8].

Как известно [1-4], функционально-инвариантным решением уравнения

называется такое решение , если произвольная дважды дифференцируемая функция также является решением этого уравнения.

Цель настоящей статьи – построение интегральных представлений решений системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющей функционально-инвариантные вектор-аналитические функции.

Нам потребуется некоторые определения.

Определение 1. Следуя Рейниху [7-9], называем вектор-функцию ( - комплекснозначные дважды непрерывно дифференцируемые функции от координат в некоторой области ) вектор-аналитической, если

, . (1)

Если вектор-аналитической является вектор-функция , то вектор-аналитической будем называть и гиперкомплексную функцию , где - база какой-либо линейной ассоциативно-коммутативной алгебры с единицей над полем комплексных чисел.

Система (1) является некоторым обобщением известной системы Коши-Римана на трехмерное пространство и частным стационарным случаем системы Максвелла для электромагнитного поля в пустоте

, ,

где , c=const, если положить в этой системе , и т.п.

Определение 2. Вектор-аналитическая функция называется функционально-инвариантной, если всякая функция F, моногенная в смысле В.С. Фёдорова по , будучи записана в виде , также определяет вектор-аналитическую функцию , т.е. , .

В настоящей работе ограничимся случаем такой алгебры, в которой , , , причём .

Из работы [11] следует, что для того, чтобы функция была функционально-инвариантной вектор-аналитической функцией, необходимо и достаточно выполнение условий

,

, , (2)

, .

Легко доказать, что функция будет функционально-инвариантной вектор-аналитической функцией в области , если

, , ,

где - произвольная функция от

в области , =const.

Рассмотрим следующую краевую задачу.

Задача. Пусть - некоторая замкнутая двумерная поверхность, гомеоморфная сфере конечного диаметра и достаточно гладкая для возможности использовать формулу Остроградского ( – внутренность поверхности ).

Требуется найти в любой точке значения решения системы (2), если известны значения этих функций на поверхности .

Использовав интегральное представление В.С.Фёдорова [12], построим следующие интегральные представления для функций и :

,

,

где точка ; под знаком интеграла , ; точка ; - направляющие косинусы внешней нормали к ,

; .

С помощью этих интегральных представлений и решается сформулированная выше краевая задача.

Литература

1. Соболев С. Л. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Труды физ.-мат. института АН СССР. 1934. Вып.5. С.117-128.

2. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М., 1957. Т.3. Ч.2. С.196-204.

3. Еругин Н.П. Функционально-инвариантные решения уравнений гиперболического типа с двумя неизвестными переменными // Уч. зап. ЛГУ. Сер. мат. наук. 1949. Вып. 16. С.142-166.

4. Смирнов М.М. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Доклады АН СССР. 1949. Т.67.N6. С.977-980.

5. Стельмашук Н.Т. Об одном исследовании системы Максвелла с помощью F-моногенных функций // Журнал выч. матем. и матем. физики. 1967. Т.7. №2. С.431-436.

6. Пенчанский С.Б. Об одном виде функционально- инвариантных решений некоторых систем уравнений математической физики //Линейные функционально-дифференциальные соответствия. Сб. научн. трудов. Мн., 1984. С.34-44.

7. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций //Весці НАН Беларусі. Сер.фіз.-мат. наук. 2006. Т 1. С.44-47.

8. Стэльмашук М.Т. Шылінец У.А. Аб адной краявой задачы для функцыянальна-інварыянтных вектар-аналітычных функцый //Весці БДПУ. 1995. №1. С.85-88.

9. Reinich G.Y. Analitic functions and math. physics// Bull. Amer. Math. Soc. 1931. V.37. P.689-714.

10. Фёдоров В.С. Основные свойства обобщённых моногенных функций //Известия вузов. Математика. 1958. №6. С.257-265.

11. Стельмашук Н.Т. Построение функционально-инвариантных решений системы Максвелла для электромагнитного поля в пустоте //Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1974. №4. С.35-39.

12. Фёдоров В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве //Известия вузов. Математика. 1957. №1. С.227-223.