Романюк В. В.

Хмельницький національний університет

Про порядок перебору чистих стратегій в одній матричній грі без сідлової точки для реалізації оптимальних змішаних стратегій

Теорія ігор і, зокрема, матричних ігор знаходить своє застосування у багатьох галузях — в економіці, у сільському господарстві, політиці, військовій справі тощо. Тому дослідження конфлікту є одним з актуальних завдань прикладної математики. Розглянемо матричну -гру з симетричною додатною матрицею виграшів

, (1)

де , . Оскільки , то у цій грі її нижнє значення

, (2)

а верхнє значення

, (3)

тобто , і множина сідлових точок є пустою.

Знайдемо оптимальні змішані стратегії першого та другого гравців у цій грі. Матриця (1) є симетричною, , отже, і очевидно, що

. (4)

Тепер маємо оптимальні змішані стратегії , застосування яких у грі з симетричною додатною матрицею (1) гарантує очікуваний виграш першому гравцю (очікуваний програш другому гравцю)

. (5)

Але перший гравець гарантовано отримає такий виграш тільки при використанні оптимальної змішаної стратегії , що теоретично можливо лише при нескінченному повторюванні цієї гри. Натомість на практиці, коли моделлю реальної ситуації є матрична гра, кількість повторювань гри завжди обмежена. Тому виникає проблема реалізації оптимальних змішаних стратегій у матричних іграх за кінцеве число повторювань гри.

Припустимо, що число повторювань гри з матрицею (1) відоме і , . Обом гравцям необхідно знати свою тактику перебору чистих стратегій, яка б забезпечила вибір кожної з них раз і, таким чином, середній виграш або програш (5). Нехай кожен з гравців дотримуватиметься наступної тактики перебору чистих стратегій: спочатку вибирається раз поспіль одна з чистих стратегій, а потім — вибирається раз інша. Тоді за такої тактики перебору чистих стратегій існує чотири варіанти перебігу партій гри, де перший гравець спочатку вибирає раз поспіль -ту чисту стратегію, а другий — вибирає -ту чисту стратегію, , . Позначимо відповідний виграш першого гравця при -му розігруванні через , . Тоді середній виграш першого гравця за усі розігрувань для кожного з зазначених чотирьох варіантів відповідно дорівнює:

, (6)

. (7)

Вважаючи усі чотири варіанти перебігу розігрувань рівноімовірними, можемо обчислити очікуваний виграш першого гравця (програш другого гравця):

. (8)

Отже, вищезгадана тактика перебору чистих стратегій для реалізації оптимальних змішаних стратегій у грі з матрицею виграшів (1) за кінцеве число повторювань гри є прийнятною для кожного з гравців.

Але розглянемо -гру з несиметричною матрицею виграшів виду

, (9)

де , і . Маємо при , при , а . Таким чином, і , , де

, (10)

. (11)

Тут подібна тактика, яка полягає у виборі кожним з гравців спочатку однієї з двох своїх чистих стратегій та раз поспіль відповідно, , , не може бути застосована, оскільки не завжди націло ділиться на . Тобто, якщо та не є цілими числами, то необхідно шукати іншу тактику перебору чистих стратегій, яка б забезпечила подібну до (8) тотожність. Це є предметом подальших досліджень у цьому напрямку.