Экономические науки / Математические методы в экономике

 

к. т. н. Венедиктов Г. Л., к. ф.-м. н. Кочетков В. М.

ООО «РЖД Консалт Северо-Запад», Россия

 

 

ОБ АНАЛИЗЕ СПРОСА В ПАССАЖИРСКОМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ СООБЩЕНИИ

 

 

Динамика пассажирского спроса является важнейшим фактором, определяющим способы и инструменты управления рентабельностью перевозок. Прогноз дохода на близкую и дальнюю перспективу, выбор мер по повышению лояльности потенциальных пассажиров, определение оптимального набора внутривагонного сервиса, анализ влияния конкурентной сферы – эти и другие вопросы требуют оценки характеристик пассажирского спроса.

Особенно существенную роль оценка спроса играет в реализации мер управления доходностью на базе ценовой оптимизации. В настоящее время алгоритмы оптимального ценового управления можно считать изученными [1-4]. Однако для действенности соответствующих мер управления существенно наличие необходимого пассажирского контингента, то есть требуемого уровня спроса. 

Рассматриваемая сфера транспортных услуг в отношении спроса имеет существенное отличие от розничной торговли, где параметры и динамика потребительского интереса хорошо изучены [5]. Это отличие состоит прежде всего в том, что на транспорте имеется резко очерченная граница удовлетворения спроса – для пассажирского железнодорожного транспорта эта граница определяется количеством мест в поезде. Наличие указанного ограничения приводит к тому, что потребительский спрос на транспорте нередко может быть не удовлетворен полностью и это обстоятельство существенно влияет на статистику, описывающую динамику продаж.

В связи со сказанным представляется целесообразным рассмотреть две разновидности спроса – удовлетворенный и неудовлетворенный спрос. Удовлетворенному спросу отвечает ситуация, когда все потенциальные пассажиры смогли купить билеты. Если же для части этих пассажиров билетов не хватило, спрос считается неудовлетворенным. Анализируя историю продаж, можно, как будет показано далее, по статистическим параметрам реализации билетов на различные поезда увидеть, в каких случаях спрос удовлетворен, а в каких нет, и сообразно этому применять соответствующие инструменты ценового регулирования для увеличения доходности перевозок.

 

1. Статистика при удовлетворенном спросе

 

С количественной стороны при рассмотрении конкретного поезда под спросом далее понимается число потенциальных пассажиров, готовых купить билеты в соответствующий класс данного поезда по предлагаемой цене. Ясно, что эта величина является случайной, причем параметры ее распределения претерпевают изменение со временем.

Оценивая спрос, удобно спрос относить к конкретному рейсу (конкретной дате) и количество пассажиров считать выборкой из распределения Пуассона

                                      .                                       (1)

Здесь Рλ (k) – вероятность того, что ровно k пассажиров примут решение о поездке на данную дату в рассматриваемом поезде и классе, а параметр λ отражает среднее значение распределения (1).

Однако осложняющим обстоятельством является то, что из-за сезонных и недельных циклов, а также случайных колебаний спроса, вызывающихся различными причинами, величина  λ в формуле (1) изменяется от выборки к выборке.

Пусть реализация изменяющихся значений λ следует некоторому закону распределения φ(λ). В силу множественности факторов, влияющих на величину λ, предположим, что этот закон близок к нормальному. Однако поскольку в (1) величина λ всегда положительна, для φ(λ) удобно вместо нормального закона принять гамма-распределение [6], предполагающее выполнение условия λ>0 и близкое к нормальному закону при тех значениях своих параметров, которые имеют практический интерес для рассматриваемой задачи. Таким образом, примем

                                     (2)

Здесь величины α и β – параметры распределения, а символом Г обозначена гамма-функция. Для распределения (2) среднее значение равно α/β, а дисперсия равна α/β2.

С учетом сказанного, при изменяющихся значениях λ вероятность Рλ (k) вместо соотношения (1) будет определяться формулой

.                                          (3)

Подставляя в эту формулу соотношения (1) и (2) и вычисляя далее интеграл (3), получим следующее выражение для величин Р(k):

.                                        (4)

Это дискретное распределение далее будем называть обобщенным распределением Пуассона. Сам закон Пуассона (1), как будет видно из дальнейшего, является частным случаем распределения (4) при некоторых условиях на параметры α и β.

При оценке характеристик спроса главный интерес представляют первый, а также второй и третий центральные моменты распределения (4). Их можно найти, используя производящую функцию центральных моментов

Мц(t) = ,                                   (5)

где символом обозначено среднее значение величины k для распределения (4).

Пользуясь соотношением (4), представим выражение для указанного среднего значения  в форме

 .                           (6)

Здесь символом  обозначено значение k-й производной функции  от аргумента х = 1/(1+β) при х, равном нулю. Замечая, что выражение в фигурных скобках формулы (6) отвечает члену ряда Тейлора, получаем для величины значение .

При известном значении величины второй и третий центральные моменты распределения (4) находятся соответственно как вторая и третья производная  от производящей функции (5) при t = 0. Для указанных моментов надлежащие вычисления приводят к следующим результатам:

,                                                      (7)

                           .                                              (8)

Через эти величины может быть выражен коэффициент асимметрии

.                                                (9)

Если фиксировать величину и устремить параметр β к бесконечности, то распределение (4) переходит в распределение Пуассона (1) с параметром λ, равным .  При этом , .

Таким образом, можно предположить, что в случаях, когда спрос полностью удовлетворен, формула (4) описывает его распределение. Правомерность такого предположения нетрудно проверить. Действительно, если разделить поезда на те, для которых спрос удовлетворяется или, напротив, не удовлетворяется (об алгоритме такого разделения говорится далее), и рассматривать лишь поезда с удовлетворенным спросом, то по истории продаж можно получить данные о числе пассажиров, проехавших в данном поезде на протяжении некоторого временного интервала. Соответствующую статистику можно сравнить с функцией распределения (4) и на основе критерия согласия (Пирсона или Колмогорова) определить, согласуется ли выборочное распределение с теоретическим. Такие расчеты были проведены для ряда пассажирских поездов направления Санкт-Петербург – Москва. Результаты этих расчетов подтвердили правомерность использования обобщенного распределения Пуассона (4) для оценки удовлетворенного спроса. Ниже приводится пример соответствующих числовых данных, относящихся к сравнению характеристик удовлетворенного и неудовлетворенного спроса.

 

2.     Учет неудовлетворенности спроса

 

Приведенные выше формулы относятся к случаю, когда спрос, задаваемый распределением Р(k), удовлетворен, то есть все пассажиры получили места в поезде. Если поезд является высоковостребованным и включает N0 мест, которых недостаточно для всех потенциальных пассажиров, то спрос не удовлетворяется.

Среднее значение неудовлетворенного спроса может быть рассчитано по формуле

.                                       

Это выражение при аппроксимации дискретного распределения Р(k) непрерывной плотностью f(k) в интервале (–∞,∞) переходит в соотношение

                           (10)

Если функция f(k) соответствует нормальному распределению со средним и стандартом σ, то вычисление интегралов в выражении (10) приводит к формуле

,                                         (11)

где функция F задается равенством

..                           (12)

Здесь Ф(х) – функция нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией.

Практическое влияние спроса на параметры распределения удобно иллюстрировать, сравнивая данные для двух поездов, обладающих различающимися характеристиками востребованности. В качестве таких поездов примем купейные вагоны поездов направления Санкт-Петербург – Москва: поезд № 19 «Мегаполис» и поезд № 1 «Красная Стрела» за период 2010-2011 гг. Эти поезда выбраны в связи с тем, что поезд № 1 является максимально востребованным, в то время как для поезда № 19 не возникает, как показывает анализ,  обрезания спроса, вызванного нехваткой мест.

На рис. 1 и 2 приведены столбчатые диаграммы, характеризующие выборочные плотности распределения среднесуточного спроса соответственно для поездов №№ 19 и 1.

Рис. 1. Плотность распределения спроса для поезда № 19.

 

Рис. 2. Плотность распределения спроса для поезда № 1.

 

 

 

Из рис. 1 и 2 видно, что в отношении вида плотности распределения спроса рассматриваемые поезда резко различаются. Это различие прежде всего выражается видом асимметрии соответствующих распределений. Если для поезда № 19 «хвост» распределения вытянут в сторону высокого спроса, что отвечает положительному коэффициенту асимметрии, то у поезда № 1 – наоборот. В связи с этим представляет интерес сравнить выборочные коэффициенты асимметрии для обоих поездов.

Основные параметры, характеризующие плотность распределения спроса для указанных поездов, приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Поезд

Параметры

Спрос

Коэффициент асимметрии

α

β

Среднее

значение

Стандарт

Точечная оценка

Стандарт

1

71,2

0,55

130

19

–0,972

0,264

19

29,6

0,13

229

45

0,483

0,264

 

В представленной таблице приведены несмещенные оценки параметров. В частности, если объем выборки равен n, то несмещенная оценка для коэффициента асимметрии дается формулой

,                                        (13)

где М2 и М3 – выборочные центральные моменты соответствующих порядков.

Несмещенный стандарт этой оценки определяется соотношением

.                                   (14)

Обычно считается, что отклонение величины kА на два стандарта от нулевого значения говорит о наличии заметной асимметрии, причем в случае неудовлетворенного спроса это отклонение должно быть в отрицательную сторону. Именно такое значение коэффициента асимметрии наблюдается, согласно таблице 1, для поезда №1. Напротив, для поезда № 19 коэффициент асимметрии положителен и примерно равен значению, определяемому формулой (9), что указывает на возможную близость распределения спроса для этого поезда к обобщенному распределению Пуассона (4).

Вопрос о том, можно ли считать выборочные функции распределения для рассматриваемых поездов соответствующими обобщенному распределению Пуассона (4), решался на базе использования критерия Колмогорова [7], основанного на анализе максимального различия между теоретической функцией распределения и ее выборочным аналогом. Функции распределения спроса для обоих поездов показаны на рис. 3 и 4. Штрих-пунктирной линией на обоих рисунках показана теоретическая функция распределения, отвечающая формуле (4).

 

Рис. 3. Функция распределения спроса для поезда № 19.

 

 

Рис. 4. Функция распределения спроса для поезда № 1.

 

Расчет величины статистики Колмогорова при объеме выборки n=83 дал для поезда № 19 значение 0,085, а для поезда №1 – значение 0,140. Согласно опубликованным таблицам [7], граница критической области для статистики Колмогорова при уровне доверия 0,9 равна 0,132. Таким образом, выборочная плотность распределения спроса для поезда № 19 не противоречит обобщенному распределению Пуассона, в то время как для поезда № 1 расхождение с теоретическим распределением слишком велико.

Расчеты, аналогичные представленному, были проведены и для прочих поездов направления Санкт-Петербург – Москва. Оказалось, что превышение в отрицательную сторону коэффициента асимметрии по модулю на два стандарта и более во всех рассмотренных случаях показывает, что спрос не подчиняется обобщенному распределению Пуассона (4), что говорит о его неудовлетворенности. Таким образом, следует считать, что оценка выборочного значения коэффициента асимметрии может служить критерием удовлетворенности или неудовлетворенности пассажирского спроса.

Выполненный значительный объем расчетов, основанных на анализе коэффициента асимметрии, показал, что для ряда высоковостребованных поездов, курсирующих на направлении Санкт-Петербург – Москва, спрос не удовлетворяется. При этом часть пассажиров, планировавших ехать в этих поездах, получила места в других, менее популярных поездах. Это привело к тому, что в целом по направлению Санкт-Петербург – Москва спрос оказывается удовлетворенным. Тем не менее, выполненный анализ позволил разделить поезда на две альтернативные группы, для которых следует применять различающиеся инструменты ценового регулирования.

 

3.     Оценка потенциального объема пассажирского контингента

при неудовлетворенном спросе

 

 

Рассмотрим еще один вопрос, связанный со статистикой спроса.

Применительно к конкретному поезду представляет значительный интерес расчет параметров потенциального спроса, если реальный спрос является неудовлетворенным. Значимость этого вопроса связана, в частности, с тем, что при неудовлетворенном спросе во многих случаях целесообразно ценовое регулирование, направленное в сторону некоторого повышения цены. В то же время этот вариант ценового регулирования может привести к уменьшению потенциального спроса для рассматриваемого поезда. Как показывают исследования, общий спрос на группу поездов, для которых пользовательские параметры (цены, расписание, сервис) близки к рассматриваемому поезду, обладает значительной стабильностью. Поэтому уменьшение спроса для одного поезда увеличивает резерв спроса для остальных поездов. В силу этого при управлении доходностью значительной группы поездов методом ценового регулирования представляет интерес изучение взаимовлияния спроса для отдельных поездов, что позволяет более точно рассчитывать параметры ценового управления.

Таким образом, целесообразно рассмотреть следующую задачу. Пусть по истории продаж известны статистические параметры, характеризующие неудовлетворенный спрос: выборочное среднее и стандарт. Вопрос состоит в расчете среднего значения потенциального спроса.

Опишем возможный алгоритм решения поставленной задачи. Плотность распределения потенциального спроса f(k) в формуле (10) соответствует следующей плотности распределения неудовлетворенного спроса:

                     (15)

где символом δ обозначена дельта-функция Дирака [8], а символом Θ – функция скачка:

                             

Если плотность f(k) описывается нормальным распределением, то с учетом соотношения (15) среднее и дисперсия распределения неудовлетворенного спроса определяются формулами

,                                      (16)  

.         (17)

Указанные величины и σ2неудовл могут находиться из истории продаж Тогда соотношения (16) и (17) в совокупности могут рассматриваться как система нелинейных уравнений, позволяющая найти среднее значение и стандарт σ для распределения, описывающего потенциальный спрос. Интегралы в формулах (16) и (17) легко вычисляются и получающаяся система уравнений может быть решена методом последовательных приближений.

Таким образом, описанным способом по известной статистике неудовлетворенного спроса находится среднее значение потенциального контингента пассажиров, т.е. потенциальный спрос.

 

4.  Заключение

 

В качестве итога проведенного исследования  можно формулировать следующие результаты, имеющие отношение к анализу спроса для пассажирского железнодорожного сообщения:

1.  Предложена методика оценки статистических параметров спроса, базирующаяся на анализе выборочной функции распределения спроса, рассчитанной по истории продаж. Указанная методика основана на использовании дискретного распределения (4), названного авторами обобщенным распределением Пуассона.

2.  Как показали исследования, характеристики востребованности спроса могут определяться величиной, характеризующей отклонение от симметричности в выборочной плотности распределения спроса и численно определяемой величиной коэффициента асимметрии (13). 

3. При оперативном анализе востребованности поездов данного направления можно использовать оценку выборочного коэффициента асимметрии в качестве параметра, характеризующего удовлетворенность спроса. При этом неудовлетворенному спросу  отвечают отрицательные значения этого коэффициента, превосходящие по модулю два стандарта. Для обеих разновидностей спроса – удовлетворенного и неудовлетворенного – с целью увеличения доходности следует применять различающиеся методы ценового управления.

4. Плотность распределения удовлетворенного спроса достаточно точно описывается обобщенным распределением Пуассона, имеющим положительную асимметрию. Анализ вида этого распределения позволяет выявить границы колебания пассажирского спроса, вызванного детерминированными факторами: зависимостью от дней недели,  от сезона, от изменения конъюнктуры рынка, вызванной действиями конкурентных перевозчиков, возможными кризисными явлениями в экономике и т.п. Наличие указанных детерминированных факторов требует включения адекватных методов ценового регулирования.

5. Потенциальный объем пассажирского контингента при неудовлетворенном спросе может находиться расчетным путем на базе решения предложенной системы нелинейных уравнений. Знание упомянутого потенциального объема контингента необходимо в условиях, когда производится ценовое регулирование для группы поездов со сходными пользовательскими характеристиками – расписание, цены, сервис и т.п.

6. Применительно к направлению Санкт-Петербург – Москва в дерегулируемом секторе пассажирских железнодорожных перевозок в целом спрос удовлетворен, однако для ряда высоковостребованных поездов спрос не удовлетворяется. Спектр этих поездов может быть выявлен на основе предложенной методики и к указанным поездам могут применяться инструменты ценового регулирования по известным алгоритмам.

 

Литература:

 

1.     Мирошниченко О.Ф., Венедиктов Г.Л., Кочетков В.М., Пастухов C.C. Методы реализации системы управления доходностью применительно к пассажирскому железнодорожному сообщению – «Вестник ВНИИЖТ», 2010, №6, с. 10.

2.     Мирошниченко О.Ф., Венедиктов Г.Л., Кочетков В.М., Пастухов С.С. Реализация экономико-математических моделей в автоматизированных системах управления рентабельностью пассажирских перевозок – «Вестник ВНИИЖТ», 2011, №4, с. 33.

3.     Венедиктов Г.Л., Кочетков В.М. К вопросу о раздельной ценовой оптимизации для верхних и нижних мест в вагонах дальнего следования – «Экономика железных дорог», 2011, № 9, с. 17.

4.     Talluri K.T., Van Ryzin G.J. The Theory and Practice of Revenue Management. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2004, 713 р.

5.     Берман Б., Эванс Д.Р. Розничная торговля: стратегический подход. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2007, 1184 с.

6.     Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1974, 832 с.

7.     Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983, 416 с.

8.     Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции, вып. 1) – М.: Физматгиз, 1958, 315 с.