Математика / 4. Прикладная математика

Подольский Д.В., к. ф.-м. н. Соколов Б.М.

Санкт-Петербургский государственный университет. Россия

Cтабилизация нелинейных объектов специального класса с частичным наблюдением

Введение. В настоящей работе рассматривается задача стабилизации решений системы дифференциальных уравнений, характеризующейся наличием устойчивой линейной части, специальной нелинейности и линейно входящего вектора управления.

Данная задача является обобщением задач, встречающихся при полимеризации синтетического каучука в батарее реакторов (см. [1]). Исходные продукты и все возмущающие и управляющие переменные поступают на вход первого аппарата. Поставленная задача решается стабилизацией выходных параметров последнего реактора. В данной математической модели выходом является температура и концентрация полимера в последнем аппарате. Особенность задачи состоит в том, что управляющие воздействия непосредственно влияют на концентрацию активных центров, динамика изменения которой описывается нелинейным дифференциальным уравнением в отличие от работы [2], где нелинейность содержала малый параметр. Сама же концентрация активных центров не измеряется, но входит в нелинейные уравнения, описывающие динамику температуры полимеризации и концентрации полимера. Расход катализатора является управляющим воздействием. Работа анонсирована в тезисах [3].

В данной работе рассмотрен алгоритм управления, построен частичный нелинейный наблюдатель для оценки неизмеряемых компонент состояния, доказана теорема о стабилизации системы при переменном управлении.

Постановка задачи. Рассматривается объект вида

(1)

Здесь и устойчивые матрицы, - нелинейная матричная функция, удовлетворяющая условию ограниченности и секторному условию

(2)

где стационарное решение уравнения статики для уравнения (1): где и - постоянные число и векторы, - управление. Из уравнения статики также получаем стационарное значение вектора z

и стационарное значение управления

(3)

при условии, что

и (4)

Задача управления объектом (1) состоит в построении управляющих воздействий (3) таких, что обеспечивается стабилизационная цель управления

. (5)

Решение задачи. Справедливо утверждение.

Теорема 1. Предположим, что в системе (1) матрицы A и D гурвицевы, матричная функция удовлетворяет условию (2), (4) и выполняется неравенство Здесь и - наименьшее и наибольшее собственные числа матриц и соответственно.

Пусть - вектор, являющийся единственным стационарным решением системы (1). Тогда при управлении (3) выполнена цель управления (5) независимо от выбора начального состояния [1].

Cтационарное управление даёт затянутые переходные процессы. Лучше использовать управление с обратной связью. При измерении части компонент состояния можно рассматривать асимптотический наблюдатель с состоянием для восстановления неизмеряемого вектора и использовать в нём известный выход (измеряемый с объекта).

Построение наблюдателя. Рассмотрим нелинейный наблюдатель вида

(6) Введём вектор . Этот вектор удовлетворяет дифференциальному уравнению Рассмотрим функцию , матрица находится из уравнения где заданная матрица. Предполагая ограниченность функции имеем неравенство где и - минимальное и максимальное собственные числа матриц и соответственно. При выполнении неравенства

(7) производная квадратичной функции будет отрицательной и по теореме Ляпунова будем иметь при . При этом, благодаря выполнению условия (7), имеем экспоненциальную сходимость.

Итак, доказана

Теорема 2. Пусть компоненты вектора состояния в системе (1) неизвестны. Рассмотрим частичную модель объекта этой ненаблюдаемой части системы (уравнение (6)). Тогда при выполнении неравенства (7), если модель (6) стабилизируема, то и объект (второе уравнение системы (1)) стабилизируем.

Выбор управления. Будем вычислять управление объектом (1) по частичной модели. Запишем уравнения (1) и (6) в отклонениях от стационарных значений .

(8) Здесь .

Производная функции , где матрица получена, как и раньше, по матрице из уравнения Ляпунова с матрицей , имеет вид где Тогда при

(9)

Предполагается, что на поверхности нет точек сгущения траекторий , то есть траектории «протыкают» поверхность , не

оставаясь на ней. Это предположение практически очень часто выполнено.

Отсюда следует экспоненциальное стремление при

Сходимость по выходу. Неравенства (2) примут вид: Рассмотрим функцию где матрица удовлетворяет соответствующему уравнению Ляпунова с матрицами и Производная этой функции вдоль решений системы (8) оценивается так: где

(10)

и - минимальные собственные числа матриц и , соответственно, a - максимальное собственное число матрицы . Введём функцию Для неё имеет место неравенство . Решения этого неравенства мажорируются решением устойчивого уравнения , где экспоненциально при , а потому и при Доказана

Теорема 3. Пусть выполнены условия: 1) в уравнениях (1) вторая компонента состояния не измеряется, 2) выполнены условия предыдущих теорем. Дополнительно выполнено неравенство (10), а также выполнено условие отсутствия точек сгущения траектории на поверхности .

Тогда формула (9) определяет управление, стабилизирующее исходный нелинейный объект (1) по выходу.

Заключение. В данной работе построен алгоритм стабилизации нелинейного объекта с линейной устойчивой частью, часть компонент состояния которого не измеряется. Доказаны теоремы об устойчивости наблюдателя для части состояния и получено управление в виде обратной связи по выходу. Доказано, что такое управление стабилизирует исходную систему.

Проведённые многочисленные эксперименты на компьютере показали работоспособность рассмотренных алгоритмов управления. В этих экспериментах знаменатель в формуле (9) для управления никогда не обращался в ноль.

Литература

1. В.П. Дождев, Б.Д. Любачевский, Б.А. Перлин, Б.М. Соколов,

П.П. Шпаков, В.А Якубович. Адаптивное управление полимеризаци-

онным реактором // Приборы и системы управления. 1977. №2. С. 7-9.

2. Б.М. Соколов, В.Н. Фомин. Адаптивное управление системами с ненаблюдаемой квазилинейной частью на примере одной задачи химической кинетики // 5-й Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». М.: Изд-во ИПУ РАН, 1998. С. 88.

3. Д.В. Подольский, Б.М. Соколов. Управление процессом полимеризации в случае нелинейного объекта с частичным наблюдением // 10-я Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» Тезисы докладов. Алушта: Изд-во ТНУ, ДИАЙПИ, 2010.

С. 117.