Сурнева Олеся Борисовна
Северо-Кавказский
федеральный университет, Россия
2+1 –мерное
дифференциальное уравнение в частных производных обладающее парой Лакса
Лемма 1. Нелинейное уравнение в
частных производных
(1)
эквивалентно операторному уравнению Лакса , с операторами L и А вида:
,
.
где ,
- произвольные
постоянные,
- неизвестная функция.
Лемма
2. Уравнение (1), при ,
сводится к
параболическому квазилинейному уравнению вида
(2)
где ,
,
,
.
Лемма 3. Уравнение (2) с помощью замены преобразуется к виду
. (3)
Алгоритм метода Хироты:
1.
Произвести замену зависимой переменной, так чтобы уравнение имело билинейную
форму.
2.
Рассмотреть формальные ряды теории возмущений.
3.
Построить 1- солитонное решение, провести исследования и доказать существование
N-
солитонных решений.
Лемма 4. Нелинейное
уравнение (3) с помощью замены приводится к
однородному виду
(5)
Лемма 5. Выражение (5)
эквивалентно уравнению
(6)
где в записи использован оператор дифференцирования
Хироты:
Уравнение привилось к билинейному виду как это должно
быть при работе с уравнениями, имеющими солитонные решения.
Лемма 6. Равенство (6)
эквивалентно системе уравнений
(7)
Точное
решение системы (7) можно построить в виде обрывающихся рядов теории возмущений
по некоторому малому параметру . Представим функции
в виде таких рядов:
(8)
где .
Для получения одно - солитонного решения положим и, считая
, ряды (8) обрываются, тогда
(9)
ТЕОРЕМА. Нелинейное
уравнение (2) имеет точное решение
, (10)
где произвольные
постоянные.
Доказательство.
Подставим в виде (9) в систему
(7), тогда получим: первое равенство
распадается
на два уравнения по степеням показательной функции и
одно
из которых выполняется тождественно, в результате имеем одно равенство
(11)
Аналогично поступим и со вторым равенством системы (7)
после приведения подобных имеется только показательная функция и ее коэффициент
имеет вид
(12)
Полагая и
,
, система уравнений (7) выполняется тождественно. В результате
получено точное решение
.
Так как функции связаны равенством
, то имеем следующее решение исходного уравнения в виде
(10).
Литература
1. Редькина Т.В. Возможность построения солитонных 1+1
и 2+1 - мерных уравнений, имеющих общую задачу рассеяния//Вестник СГУ, № 43. Ставрополь, 2005, с. 47-52.
2. Редькина Т.В.,
Лушникова Г.А 2+1 мерная солитонная модель//XV Российская научная конференция. Самара. 2008. С. 239.