Математика/4. Прикладная математика

К.т.н. Агафонцев В.В.

Псковский государственный университет, Россия

Позиционные системы счисления с произвольным основанием и некоторое их практическое применение

Известно, что в основе построения технических средств цифровой электроники лежит двоичная система счисления. Её используют в устройствах хранения и обработки информации, построенных на базе физических элементов, имеющих два устойчивых состояния. В этом случае одному состоянию элемента ставят в соответствие 0, другому состоянию - 1. Недостаток двоичной системы счисления состоит в длинной записи чисел, поэтому в программной составляющей информатики используют системы счисления с основанием, являющимся степенью числа 2, например: восьмиричную, шестнадцатиричную и т.д. системы счисления. В этом случае записи чисел становятся короче и можно быстро перейти к двоичной системе счисления и наоборот. В принципе для записи различных количественных соотношений могут использоваться системы счисления с произвольным целочисленным основанием.

Рассмотрим использование позиционных систем счисления с произвольным основанием в одной из фундаментальных задач теории чисел. Эту задачу называют последней (часто – великой) теоремой французского математика XVII столетия Пьера Ферма. Теорема гласит: не существует целочисленных решений уравнения

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ,

где X, Y, Z, n ÎN, n>2 [1-3].

Заранее определимся: в данной работе автор не ставит перед собой непосильную задачу полного доказательства Великой теоремы Ферма (ВТФ). Цель работы – представить на обсуждение доказательство, утверждающее, что не существует целочисленных решений уравнения Ферма для показателей степени, больших того, для которого (кем-то, когда-то) было доказано отсутствие целочисленных решений ВТФ. И не более того! Полное доказательство оставим за ВЕЛИКИМИ: Эндрю Уайлсом [3] и (хочется верить!) за Пьером Ферма, который мог строить своё доказательство, избрав следующий подход:

1. На первом этапе доказать отсутствие целочисленных решений для некоторого конкретного показателя. Известно, что для показателя n=4 П.Ферма это сделал, используя предложенный им метод бесконечного спуска. Условимся называть базовым уравнение Ферма с конкретным численным показателем, для которого доказано отсутствие целочисленных решений.

2. На втором этапе доказать невозможность существования целочисленных решений для степеней, больших степени базового уравнения.

Исходя из такого подхода, если иметь строгое доказательство случая n=3, а также иметь доказательство по пункту 2, причём, оба доказательства выполненные в инструментарии эпохи П.Ферма, то его словам на полях "Арифметики" Диофанта можно доверять. Представляется, что работа [4] убедительно показывает возможность элементарного доказательства случая n=3, построенного без использования комплексных чисел и, по сути, на методе бесконечного спуска. Не исключено, что подобными соображениями мог руководствоваться и П.Ферма.

Покажем возможность элементарного доказательства второго этапа, а именно, что не существует целочисленных решений уравнения Ферма для степеней, больших степени базового уравнения. Отметим, что полное доказательство дано в [5].

Последовательность импликаций

1. Определение условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ, (1)

где X, Y, Z, n ÎN, причём X, Y, Z – взаимно простые числа, n≥2.

1.1. Переход к Z-ричной системе счисления.

1.2. Доказательство того, что хотя бы одно из слагаемых левой части гипотетического равенства (1) (Xⁿ или Yⁿ ) должно содержать ровно n Z- ричных разрядов. Запись этого слагаемого соответствующим ему количественным эквивалентом, например:

Xⁿ = x_n-1 × Z^n-1 + x_n-2 × Z^n-2 +… + x₁ × Z + x₀ (2)

1.3. Доказательство того, что в выражении (2)

x_n-1 ≤ Z-n (3)

1.4. Доказательство того, что второе слагаемое (Yⁿ ) гипотетического равенства (1) также, как и первое слагаемое (Xⁿ ), должно содержать ровно n Z- ричных разрядов и, следовательно, его количественный эквивалент должен записываться так:

Yⁿ = y_n-1 × Z^n-1 + y_n-2 × Z^n-2 + …+ y₁ × Z + y₀ (4)

1.5. Доказательство того, что для гипотетического равенства (1) должны

выполняться n равенств вида:

x₀ + y₀ = x_i + y_i + 1 = Z, (5)

где iÎ[1; n-1].

1.6. Доказательство того, что в выражении (4)

y_n-1 ≥ n-1 (6)

1.7. Формирование условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства (1). Таких условий три:

1) Xⁿ = x_n-1 × Z^n-1 + x_n-2 × Z^n-2 +… + x₁ × Z + x₀

2) Yⁿ = y_n-1 × Z^n-1 + y_n-2 × Z^n-2 + …+ y₁ × Z + y₀

3) x₀ + y₀ = x_i + y_i + 1 = Z, где iÎ[1; n-1].

1.8. Показ на конкретных примерах выполнение названных необходимых условий для n=2.

2. Предположение существования еретического решения Aⁿ + Bⁿ =Cⁿ и его анализ.

2.1. Распространение условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства (1), на еретическое решение Aⁿ + Bⁿ =Cⁿ . Условия, необходимые для существования еретического решения:

1) A^N = a_N-1 × C^N-1 + a_N-2 × C^N-2 +… + a_k ∙ C^k + a_k-1 × C^k-1 + a_k-2 × C^k-2 +…

+ a₂ × C² + a₁ × C + a₀

2) B^N = b_N-1 × C^N-1 + b_N-2 × C^N-2 +… + b_k ∙ C^k + b_k-1 × C^k-1 + b_k-2 ∙ C^k-2 +…

+ b₂ × C² + b₁ × C + b₀

3) a₀ + b₀ = a_i + b_i + 1 = C, (7)

где iÎ[1; N-1].

2.2. Исходя из равенства (7), формирование выражения

(a_k-1 + b_k-1)× C^k-1 + (a_k-2 + b_k-2)× C^k-2 +…+(a₂ + b₂)× C² + (a₁ + b₁)× C + a₀ + b₀ = С^k (8)

2.3. Распространение условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства (1), на базовое уравнение Ферма X^k + Y^k = Z^k, то есть на уравнение Ферма с таким показателем степени k, для которого кем-то и когда-то было доказано отсутствие целочисленных решений. Например: для k=7 – это доказательство Г.Ламе, для k=5 – это доказательство А.Лежандра, для k=4 - это доказательство П.Ферма, для k=3 – это доказательство Л.Эйлера.

Обоснование невыполнения как равенств следующих выражений:

1) X^k = x_k-1 ∙ Z^k-1 + x_k-2 × Z^k-2 +…+ x₂ × Z² + x₁ × Z + x₀

2) Y^k = y_k-1 ∙ Z^k-1 + y_k-2 × Z^k-2 +…+ y₂ × Z² + y₁ × Z + y₀

3) x₀ + y₀ = x_j + y_j +1 = Z, где jÎ[1; k-1]

из чего следует такое неравенство:

(x_k-1 + y_k-1)×Z^k-1 +(x_k-2 + y_k-2)×Z^k-2 +…+(x₂+ y₂)×Z² + (x₁+ y₁)×Z + x₀ + y₀ ≠ Z^k

Данное неравенство выполняется при любых значениях x_j, y_j, из которых формируется Z, в том числе и при таких: x_j=a_j и y_j=b_j, Z=C. В результате получается следующее неравенство:

(a_k-1 + b_k-1)× C^k-1 + (a_k-2 + b_k-2)× C^k-2 +…+(a₂ + b₂)× C² + (a₁ + b₁)× C + a₀ + b₀ ≠ С^k (9)

2.4. Выявление локального противоречия, вытекающего из сопоставления выражений (8) и (9).

2.5. Доказательство получения из локального противоречия (9) неравенства Aⁿ + Bⁿ ≠ Cⁿ , противоречащего предположению существования еретического решения Aⁿ + Bⁿ =Cⁿ, из чего следует, что не существует целочисленных решений уравнения Ферма для степеней, больших степени базового уравнения.

ВЫВОД: Если Пьер Ферма имел подобную доказательную базу и доказательство отсутствия целочисленных решений своего уравнения для n=3, то в справедливости его интригующей записи на полях "Арифметики" Диофанта сомневаться не приходится… Известно, что сам Пьер Ферма доказал отсутствие целочисленных решений для n=4, а Леонард Эйлер - для n=3 [1]- [4].

Литература

1. М. М. Постников, Теорема Ферма, Введение в теорию алгебраических чисел, Наука, М., 1978.

2. 2. Г. Эдвардс, Последняя теорема Ферма, Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел, Мир, М., 1980

3. Сингх С. Великая теорема Ферма, М.:МЦНМО, 2000

4. Ю.Ю.Мачис. О предполагаемом доказательстве Эйлера. "Математические заметки", том 82, вып. 3, сентябрь 2007, с.395-400.

5. В.В.Агафонцев. Великая теорема Ферма (необычный подход). Сб. научных трудов Международной научно-практической конференции по современным проблемам прикладной информатики. 23-25 мая 2012 года/ Отв.ред. И.А.Брусакова, И.Л.Андреевский. -СПб.: Изд-во "ЭЛМОР", 2012. -с.238. (с.28-38).