МАТЕМАТИКА  / 5. Математическое моделирование

Оқытушы, математика магистрі Омарова И.М.,   АИА-911 тобының студенті Оспанова А.Т

Қ.А.Ясауи  атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті. Қазақстан    

Информатика ғылымындағы сандық әдістер пәнін ЖОО-да оқытудың маңызы

 

Халық шаруашылығы мен  білім салаларында электронды есептеу  машиналарының кеңінен қолданылуының  басты себебі – жалпы технологиялар мен есептеу  техникаларының  қарқынды дамуы  негізінде инженерлік  зерттеу жұмыстарында математикалық әдістердің кеңінен қолданылуы екені белгілі.

 Практикалық есептерді ЭЕМ-де шешу бастапқы берілгендер мен  есептің мақсатын математикалық тілде сипаттаудан басталады. Есепті шешу шарттары мен  мақсаттарын математикалық таңбалармен  заңдылықтар жиынтығында дәл белгілеу. Есептің  математикалық қойылымы алдымен  есептің  математикалық  моделін құрылуымен, сонан соң есепті шешу тәсілі талданып сәйкес алгоритм құрылады. Математикалық модельдеу нақты дүниедегі обьекттер мен процестерді олардың  математикалық тілдегі жуықталған сипаттамалары болған – математикалық модельдері – жәрдемінде зерттеу әдісі болып табылады. Бұл әдіс өте кең қолданыс тапқан, амалда ғылымда, басқа да қолданбалы салаларда бірнеше ғасырлардан бері қолданылып келеді. Математикалық модельдеудің мүмкіндіктері мен оның ғылыми-техникалық прогреске әсері соңғы 35-45 жылдың ішінде компьютердің пайда болуы мен оның барлық салаларда қарқынды қолданылуымен ерекшеленеді.

Математикалық модельді құру процесін шартты түрде бірнеше кезеңге бөлуге болады:

1.                  Математикалық модельді құру.

2.                  Сәйкес есептеу есептерінің қойылымы, оларды зерттеу және шешу .

3.                  Практикада модель сапасын тексеру және модельді жетілдіру.

 

Қолданбалы есептерді компьютер көмегімен шешу кезеңдерін бірнеше кезеңге бөлуге болады.

1.                  Мәселенің қойылымы.

2.                  Математикалық модельді таңдау немесе құру.

3.                  Есептеу есебінің қойылымы.

4.                  Есептеу есебінің қасиеттерін алдын ала талдау.

5.                  Сандық әдісті таңдау немесе құру.

6.                  Алгоритмдеу және программалау.

7.                  Программаны отладка (дұрыстау) жасау.

8.                  Программа бойынша есептеулер жүргізу.

9.                  Нәтижелерді өңдеу және интерпретация жасау.

10.              Нәтижелерді пайдалану және математикалық модельді түзету.

 

Математикалық модельді құру және қолданбалы есептерді компьютер көмегімен шешуде үлкен көлемдегі жұмыстарды орындауға тура келеді. Есептеу экспериментінде есептеулер нақты обьектпен емес, оның математикалық моделімен жүргізіледі, тәжірибелік қондырғы орнын компьютер атқарады. Компьютер арнайы құрылған қолданбалы программалар пакетімен (ҚПП) жабдықталған болады. Сондықтан, ғылыми-техникалық және қолданбалы есептерді кешенді   шешуді есептеу эксперименті ретінде жүргізген дұрыс.

Математикалық модельдеуде компьютерлердің кең қолданылуы, құрылған теория және алынған елеулі практикалық нәтижелер  есептеу экспериментін ғылыми және қолданбалы зерттеулердегі жаңа технология мен әдістеме деп атауға болады.

Есептеу экспериментінің натуралық эксперименттерден артықшылық жақтарына тоқтала кетейік. Әдетте, есептеу эксперименті физикалық эксперименттен арзан болады. Бұл экспериментке жеңіл және қауіпсіз араласуға болады. Оны бірнеше рет қайталауға болады, сондай-ақ кез келген уақытта тоқтатуға болады. Эксперимент кезінде лабораториялық жағдайда келтіріп шығару мүмкін болмаған жағдайларды модельдеу мүмкін. Есептеу экспериментінің негізгі кемшілігі оның нәтижелерін  қолдану мүмкіншілігі қабылданған математикалық модель шеңберінде ғана болады.

1.2. Қателіктер теориясы элементтері. Қателіктердің классификациясы және олардың көздері. Абсолют және  салыстырмалы қателіктер.  Жуық сандар мен арифметикалық амалдар қателіктері.  Функциялар қателіктері.

Есептеулер процесінде жуықталған сандармен жұмыс істеуге тура келеді. А-кейбір шаманың дәл мәні делік. Келешекте А санын дәл сан деп аталық. А шаманың жуықталған мәнін немесе жуықталған санын  делік, яғни А шаманың дәл мәнін ауыстыратын  санын жуықталған сан деп аталық.

Егер <A болса, онда  санын А санының кемімен алынған жуықталған мәні деп атайды.

Егер  >A болса, онда  санын А санының артығымен алынған жуықталған мәні деп атайды.

Мысалы: 3,14 саны    санының  кемімен алынған жуықталған мәні болса, ал 3,15  сол     санының артығымен алынған жуықталған мәні болады. Осындай жақындаудың дәлдік дәрежесін сыйпаттау үшін "қателік” ұғымын пайдаланады.

                                                                                                               (1.1)

айырымын жуықталған   санының кателігі деп атайды. Мұнда А-сәйкес дәл сан.

Анықтама: Жуықталған  санның абсолюттік қателігі деп осы санның                   қателігінің абсолют  шамасын   айтады, яғни оны былай   жазады:

                                                                                                             (1.2)

Әдеттегідей дәл  А саны белгісіз болатындықтан “шекті абсолют қателік” ұғымын пайдаланады.

Анықтама. Жуықталған  санының шекті абсолют қателігі деп осы  санының абсолют қателігінен аз болмайтын санды айтады, яғни

                                                                                                                   (1.3) Ол сан бірмәнді  анықталмайды: оны өсіруге болады. Сонда  (1.3)-тен алатынымыз:

                                                                                                                     (1.4)

Демек,

                           ,                                       (1.5)

 

яғни  кемімен алған А санының жуықталған мәні, ал  – А санының артығымен алынған жуық мәні. (1.5) формуланы қысқаша былай жазуға болады:                                                                                                                                                                                 (1.6)

Практикада шаманың дәлдігін түсіну кезінде шекті абсолют қателігін пайдаланады. Мысалы, егер екі пунктің  S=900 м  тен арақашықтық 0,5 м дәлдікпен алынса, онда S шаманың дәл мәні             

                                           899,5 м < S < 900,5 м

шекаралықты алынатын болады.

Әдетте абсолют қателік () екі-үш маңызды (значащие) таңбалы санмен жазады, ал маңызды таңбаларды санау кезінде сол жақтағы нольдер саналмайтынын естен шығармау керек. Мысалы: 0,004060 санында 4 маңызды таңба бар. 

Мысалы: Қандайда бір есептеу машинасына тек 3 маңызды таңбалы сандарды ғана енгізу мүмкін болсын.  онда санын қандай дәлдікпен енгізуге болады. Шешімі:  деп алуға болады.

Жуықталған санның дәлдік дәрежесін сипаттау үшін абсолюттік немесе шекті абсолют қателік ұғымдары жеткіліксіз. Жуықталған сандардың дәлдігінің елеулі көрсеткіші олардың салыстырмалы  қателігі.

 Анықтама. Жуықталған  санының салыстырмалы қателігі деп  осы санның абсолют қателігінің сәйкес  дәл А санының модулына қатынасын айтады.

     Оны былай белгілейді:

                                                                             (1.7)   

      Анықтама. Жуықталған  санының шекті салыстрмалы қателігі  деп салыстырмалы қателіктен кем емес санын айтады, яғни

                                                                                                                            (1.8)

Егер (7) ескерсек, онда (8) келесі түрде жазуға болады:

                                                                                                                      (1.9)

Демек, егер (1.3) пен (1.9) салыстырсақ, онда  санының шекті абсолют қателігі етіп келесі теңдікті жазуға болады:

                                                                                                                             (2.10)

Егер  етіп қабылдасақ, онда (2.10) формуласын былай жазуға болады:

                                                                                                                (2.11)

Егер (2.11) теңдікті пайдалансақ, онда (2.5) теңсіздік келесі түрде түрленеді:

                                                  

немесе

                                                      (2.12)

Егер шекті салыстырмалы  қателік берілсе, онда (2.10) формула бойынша шекті абсолют  қателікті анықтауға болады.

Мысалы: %

Жуық санның салыстырмалы қателігі ондағы дұрыс таңбалардың санымен байланысты, ал дұрыс таңбалардың саны (берілген) санның бірінші маңызды таңбасынан бастап оның абсолют қателігіндегі бірінші маңызды таңбаға дейінгі сандармен анықталады.

Қазіргі кезде  көптеген инженерлік  есептердің жемісті шешілуі  ЭЕМ-ді  қолдану  ебдейлігінің  жеткілікті деңгейде қалыптасуына байланысты болып отыр. Ебдейлік қалыптасуы үшін ЭЕМ-ді пайдаланумен қатар мақсатқа сай  іріктелген есептеу әдістерін білудің де маңызы үлкен.

            «Есептеу әдістерін» пәні көлемінде қарастырылатын сандық әдістердің программалары жазылып, олар қолданбалы программалар пакеті түрінде сақталатыны белгілі. Күнделікті  тәжірибе көрсетіп отырғандай тәсілдер мәнін толық түсіну үшін студент  алдымен есептеу іс әрекетін  қолмен орындап шығуы  сонан соң  дайын программаны құра алғанда ғана  студент, болашақ маман ретінде қойылған есепті тиісті шешілу кезеңдерінен өткізе алады деген  сенім пайда болады.

            Әдістемелік құралды қарастырылатын лабараториялық жұмыстар қателіктердің  қарапайым теориясы, жуықтап есептеу мен  анализдің сандық әдістері, сызықтық программалау элементтері және  тәжірибелік берілгендерді өңдеу  әдістері бойынша қысқаша теорилық материалдармен қамтамасыз етіледі.

Сандық әдістер пәні есептерді шешудің негізгі тәсілдерін қарастырады. Кейбір есептердің шешімін табу күрделі сандық әдістер арқылы ғана жүзеге асады. Мұндай әдістерді білу әрбір болашақ ұстаздар үшін өте маңызды. Оның классикалық мысалы – Уранның ауытқуын зерттеудегі Нептунның ашылуы. Сонымен бірге аз уақыт ішінде сандардың үлкен көлемімен жұмыс істеуге тура келеді және  тиісті уақытта нәтиже алынбаса  оның қажеті болмайтынын ескерген жөн. Мысалы, ауа райының тәулік бойындағы көрсеткішін, ракетаның  траекториясын түзетулер, т.с.с. бірнеше минутта  атқарылуы  тиіс. Мұндай жылдам есептерді  жүргізу ЭЕМ-нің көмегінсіз мүмкін емес. Қазіргі сандық  әдістер мен  қуатты  ЭЕМ-дер осыдан көптеген ғасыр бұрын арман еткен есептерді шешуге зор мүмкіндік береді. Бірақ сандық әдістерді қолдану ежелден-ақ оңайға түскен жоқ. Сандық әдістердің теориясы  мен практикасында үлкен улес қосқан ғалымдар:  Архимед және Птолемей, Декарт және Паскаль, Кеплер және Гюгенс, Ньютон, және Лейбниц, бұлардан кейінгі ұлы математиктер: Эйлер мен Лагранж, Гаусс пен Чебышев,ХХ ғасырда А.Н.Крылов, қазіргі кезде А.Н. Тихонов, А.А Дородиницын, В.В.Иванов, П.И.Марчук, Л.В.Канторович, А.А.Самарский, Е.Бидайбеков, М.Сұлтанов,  Р.Қадірбаева және т.б. айтуға болады.

Сандық әдістер- математика ғылымының саласындағы  әр түрлі күрделі есептерді шешуге арналған бөлімі. Оның басты мәселесі, талап етілген дәлдікте есептердің  дұрыс , анық, дәл шешімдерін табу. Кез-Келген есептерді шешу алгоритмін оның орындалу  ретін неғұрлым тез әрі қатесіз табуды жоспарлай білу қажет. Бұл ЭЕМ-дерді қолдануды қажет етеді.

 

Пайдаланылған әдебиеттер:

1.      Демидович Б.П., Марин И.А. “Основы вычислительной математики” –М., Наука, 1974.

2.       Клиткин Н.Н. “Численные методы” –М., Наука, 1978

3.      Сембиев О.З., Мамаев К.С. “Численные методы”, учебно-методическое пособие, Шымкент-2005.

4.      Қадірбаеа Р.І., “Есептеу әдістері бойынша лабораториялық жұмыстар жинағы”, Шымкент 2001ж.

5.      Қадірбаева Р.І., Жақыпбекова Г.Т., Әділбекова З.Т. “Сандық әдістер бойынша лабораториялық жұмыстар”, Шымкент-2000.

6.      Әділбекова Э.Т., “Сандық әдістер”, лекциялар жинағы, Шымкент 2010ж.

7.      Жақыпбекова Г.К., Әділбекова Э.Т., “Сандық әдістер”, Шымкент 2002ж.

8.      Форсайт Дж., Моулер К. “Численное решение систем линейных алгебраических уравнений”-М., Мир, 1963.

9.      Матвеев Н.М. “Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений”-М., Высшая школа, 1963.