Физика. Оптика.

Бовин А.А., Полякова Д.С.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 63, г. Краснодар, Россия

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ОБРАЗОВАНИЯ РАДУГ

НА МЕЛКОВОДЬЕ

В природных условиях можно наблюдать разнообразные оптические явления - радуги, полярные сияния, миражи.

Однако есть явления, которые наблюдаются только в определённых местах и при определённых условиях. Речь идёт о Семицветном озере, расположенного в горах Архыза. В хорошую солнечную погоду, если на озере создать небольшие волны, то на склонах волн неожиданно засияют сотни ярких радуг! Туристы из Московского Дома ученых, одними из первых (в 50-х гг.) освоивших маршрут к озеру, назвали его Семицветным” [1]. Однако данное оптическое явление нельзя назвать и уникальным, так как в горах Тянь-Шаня на озере Сюттуу-Булак в верховьях реки Ак-Суу в переливах солнечных лучей также можно увидеть цвета радуги на водной поверхности озера [2].

Необычность явления заключается в том, что радужный свет возникает как бы из толщи воды, где нет ни источников света, ни отражающих границ. При этом остаётся невыясненным ответ на вопрос: данное оптическое явление происходит только в определённых водоёмах или при специфических условиях его можно наблюдать в любом водоёме?

Поэтому целью данной работы является:

1) объяснение появления радуги в водах Семицветного озера на основе законов физики;

2) построение простейшей модели этого явления и её исследование;

3) выяснение возможности и условий наблюдения радуги в волнах любых водоёмов.

1. Исследование оптического явления.

1.1. Физические явления, объясняющие появление радуг на волнах.

Для изучения явления образования радуг на волнах в конце июля 2010 года была организована поездка в район реки Дукка с выходом на Семицветное озеро. Непосредственные наблюдения оптического явления на Семицветном озере позволили дать объяснение образования радуг на волнистой поверхности озера. Суть явления заключается в следующем:

1). Солнечные лучи, попадая на волнистую поверхность озера, концентрируются на светлом дне озера в виде ярких изломанных линий (образуется каустика). Волны при этом играют роль фокусирующих линз.

2). Наблюдатель видит картину каустики на дне водоёма через волны, которые, в этом случае играют роль призмы с переменной кривизной поверхности, и, вследствие явления дисперсии, разлагают изображения каустик в спектр.

Ќаустика (от лат. жгучий) в оптике — геометрическое место всех фокусов пучков световых лучей, не сходящихся в одной точке.

Позже, авторами было найдено упоминание о подобном явлении в работе [3], где об этом сказано так: „ Солнце бросает яркие полосы света через прозрачную воду на дно – они хорошо видны в мелком водоёме или вблизи берегов реки. Гребни мелких волн служат линзами и собирают лучи света в фокусе в виде полос, которые медленно движутся вместе с волнами… Когда лучи падают наклонно, полосы света по краям окрашены; сторона, ближняя к Солнцу – голубая, сторона, отдалённая от Солнца – красноватая…”.

Объяснение исследуемого физического явления в работе [3] полностью совпадает с объяснением, изложенным авторами. Кроме того, из приведённой цитаты следует, что это явление можно наблюдать в любых водоёмах, в том числе в реках. Однако условия наблюдения не приводятся.

Таким образом, для выяснения условий наблюдения радуг на волнах водоёма необходимо было предпринять следующие шаги:

1) построить модель рассматриваемого явления;

2) в рамках этой модели исследовать влияние параметров волны и угла падения световых лучей на образование каустики;

3) выяснить условия, при которых на волнах озера можно наблюдать радугу;

4) проверить экспериментально теоретические выводы исследований.

1.2. Построение каустики.

Построение каустики является непростой математической задачей. Существует ряд примеров расчёта каустик при отражении или прохождении света через прозрачные стандартные тела (шар, цилиндр) и поверхности: (параболическую, коническую) и т.п. [4]. Разработаны компьютерные программы для расчета изображений с каустикой [5].

В данной работе волны на поверхности озера моделировались в виде синусоиды (косинусоиды). Такая модель правомерна, так как если сместить участок поверхности жидкости от положения равновесия, то под действием возвращающих сил поверхность начинает двигаться обратно к равновесному положению. Это движение, однако, не останавливается, а превращается в колебательное движение около равновесного положения и распространяется на другие участки. Так возникают волны на поверхности жидкости.

Если возвращающая сила - сила тяжести, то такие волны называются гравитационными волнами. Гравитационные волны на воде можно видеть повсеместно. Если возвращающая сила - сила поверхностного натяжения, то такие волны называются капиллярными. Если эти силы сопоставимы, такие волны называются капиллярно-гравитационными. Волны на поверхности жидкости затухают под действием вязкости и других факторов.

Если какие-либо внешнее воздействие (брошенный камень, движение судна, порыв ветра и т. п.) нарушает равновесие жидкости, то указанные силы, стремясь восстановить равновесие, создают движения, передаваемые от одних частиц жидкости к другим, порождая волны. При этом волновые движения охватывают, строго говоря, всю толщу воды, но если глубина водоёма велика по сравнению с длиной волны, то эти движения сосредоточены главным образом в приповерхностном слое, практически не достигая дна (короткие волны, или волны на глубокой воде). Простейший вид таких волн - плоская синусоидальная волна, в которой поверхность жидкости синусоидально "гофрирована" в одном направлении [6].

При построении каустики задавалась синусоидальная волна определённой амплитуды А, задавался угол падения лучей света d и, пользуясь законом преломления света, рассчитывался ход лучей в воде. По рассчитанной схеме определялась глубина Н максимальной концентрации преломлённых лучей.

Падающие на поверхность воды лучи считались параллельными. Амплитуда волны А задавалась в относительных единицах по отношению к длине волны λ. А = 1 при λ = 2p. Такое соотношение между длиной волны и её амплитудой соответствует одинаковому масштабу осей X и Y, в которых изображается классическая синусоида. Показатель преломления принят равным 1,335.

Угол падения лучей варьировался в диапазоне от 0° до 40°. Амплитуда варьировалась в диапазоне от 1 до 0,125. Значения амплитуды большие единицы не рассматривались, так как реальные водяные волны при таких условиях не будут синусоидальны.

Алгоритм построения графика состоит в следующем:

1) изображается график синусоиды с заданной амплитудой А;

2) на синусоиду под углом d к вертикали падают параллельные равноотстоящие лучи;

3) на синусоидальной границе раздела сред лучи преломляются по закону преломления;

4) по графику определяется глубина образовавшейся каустики.

Линии падающих лучей задавались уравнениями с шагом смещения по оси Х 0,2 радиана:

(1.2.1)

Координаты исходной точки луча (Х₁;Y₁) (рис.1) определялись с учётом (1.2.1):

Рис.1. Схема прохождения лучей света через волнообразную поверхность воды.

Угол наклона g преломлённого луча определялся следующим образом: вначале вычислялся для точки Х₂ угол р наклона касательной по формуле

далее определялся угол падения лучей α на поверхность синусоидальной волны, и, пользуясь законом преломления, вычислялся угол преломления b и вспомогательный угол g:

Задаваясь значением координаты Y₃ третьей точки (рис.1) по формуле уравнения преломлённого луча определяли координату Х₃:

Все вычисления производились с помощью программы Microsoft Office Excel. Для построения графиков образования каустик использовалась программа Advanced Grapher. Примеры подобных графиков приведены на рис.2.

а) б) в)

Рис. 2. Графики образования каустик: а) А=1, δ = 20°; б) А=0,5, δ = 30°; в) А=1, δ = 30°.

1.3. Зависимость глубины каустики от амплитуды волны и угла падения лучей.

Н, отн.ед.

По графикам образования каустик определялась глубина Н наибольшей концентрации каустики. Используя эти данные, были получены зависимости глубины образования каустики от амплитуды волны (рис.3) и зависимости глубины каустики от угла падения лучей (рис.4). Глубина каустики даётся в относительных единицах по отношению к длине волны λ.

А, отн.ед.

Рис.3. Зависимость глубины каустики Н от амплитуды волны А при δ = 0.

Н, отн.ед.

Из графика на рис.3 следует, что с уменьшением амплитуды волны глубина формирования каустики увеличивается во всё возрастающей степени. Поскольку озёрную волну можно приближённо рассматривать как цилиндрическую линзу, то понятно, что с уменьшением амплитуды волны уменьшается и кривизна поверхности линзы, а. следовательно, и её фокусное расстояние.

δ, град

Рис. 4. Зависимость глубины образования каустик Н от угла падения лучей δ.

Из графика, представленного на рис.4, следует, что с увеличением угла наклона падающих лучей глубина образования каустики уменьшается, причём с уменьшением амплитуды волны эта зависимость усиливается.

1.4. Выяснение условий наблюдения радуги на волнистой поверхности озера.

Для изучения явления образования радуги на волнистой поверхности озера была предложена следующая модель:

1) для заданной амплитуды волны, по графику на рис.3 определялась глубина каустики Н озера, соответствующей максимальной концентрации каустики;

2) полагая, что данная каустика сформирована на дне озера и является объектом в виде яркой светящейся линии, параллельной волне, рассматривались лучи, идущие от этой линии через поверхность синусоидальной волны к наблюдателю;

3) кроме глубины Н, задавалось смещение b этой линии относительно гребня волны (рис.5);

4) рассчитывался ход красных и синих (фиолетовых) лучей, выходящих из различных точек волны, и определялся их углы выхода (e_кр и e_с) относительно горизонта;

5) определялась зависимость угловых границ Δe спектра от координаты Х точки выхода лучей при различных значениях смещения b.

Вначале задавались значения А, Н, b и для различных значений Х в интервале от - 1,4 до 3,0 с шагом 0,2 (рад) с помощью программы Excel рассчитывались значения угла g (рис.5):

(2.1)

Далее, с помощью производной рассчитывался угол наклона касательной р:

.

Угол падения лучей α на поверхность волны в точке Х определялся по

Рис.5. Схема образования радуги на волнистой поверхности воды.

формуле

.

Углы преломления b_кр (красных лучей) и b_с (синих лучей) определялся по закону преломления с учётом справочных данных [7]: для λ_кр= 670,8 нм n_кр = 1,3308, для λ_с = 404,7 нм n_с = 1,3428

Искомые углы выхода крайних лучей спектра e_кр и e_с находились по формулам:

.

По итогам расчетов строились графики зависимости угла выхода e_кр и e_с граничных лучей спектра от координаты Х точки выхода лучей на поверхности волны (рис. 6). Параметр b (смещение каустики относительно гребня волны) варьировался в пределах от 0,4 до 4,0 с шагом 0,2. Серия расчётов проводилась для амплитуды А = 1 и соответствующего ей значения глубины максимальной концентрации каустики Н = 3,8. На рис. 6 пунктирная линия соответствует зависимости угла выхода красных лучей e_кр(Х), а сплошная –синих e_с(Х). При значениях b в интервале 0,4 – 1,4 угловые границы спектра очень узки, графики

ℰ, град

Рис. 6. Сводный график угловых границ спектра для А = 1, Н = 3,2.

для красных и синих лучей накладываются друг на друга, сливаясь в единую кривую. Наблюдение радуги при этом практически невозможно. Поэтому на рис.6 отображены графики для смещения 1,2 < b < 4,0, для которых начинает проявляться исследуемый эффект. При значении b_гр = 1,6 и далее, графики имеют разрыв, что объясняется явлением полного внутреннего отражения, сначала для лучей синего (фиолетового) края спектра, затем и для красного. При подходе к граничному углу угловые границы спектра заметно расширяются, достигая значений 6° - 7°. Измерение угловой ширины спектра можно определить по графикам на рис. 6, если для какого-либо значения координаты Х провести вертикальную линию и, затем, по координатам пересечения этой вертикали с графиками e_кр(Х) и e_с(Х) определить для выбранного значения b углы выхода лучей e_кр и e_с и найти их разность De. На рис. 6 над осью Х расположен график косинусоиды, показывающий соответствующее расположение гребня и впадины моделируемой волны. Лучи света, идущие из воды под углом полного внутреннего отражения, должны были бы выходить по направлениям, касательным к поверхности волны. При данной косинусоидальной форме волны зависимость этих предельных углов выхода будет иметь вид:

e_гр = - p/4∙sinX.

График этой зависимости также изображён на рис.6. Как видно из сводного графика угловых границ спектра максимальная угловая дисперсия соответствует точкам выхода лучей в интервале от Х = - 1 рад и, как показывают расчёты, до Х = p/2 рад (при b ® ¥). При b ® ¥) графики e_кр(Х) и e_с(Х) всё более сужаются, как бы вкладываясь друг в друга, постепенно стягиваются в точку. При этом они находятся над кривой e_гр = - p/4∙sinX, слегка пересекая её в правой части и немного не доходя до неё в левой.

Следовательно, именно вблизи границы полного внутреннего отражения возникают условия для наблюдения радуги. Из графика (рис.6) следует, что вблизи этой границы угловая ширина спектра составляет 6°- 7° и незначительно уменьшается с возрастанием смещения b.

Продолжение графиков зависимости e_кр(Х) и e_с(Х) вправо приводит к точке их обрыва, так как при некоторых значениях Х вновь начинается полное внутреннее отражение. Из сводного графика видно, что для 1,6 £ b £ 3,2 границы полного внутреннего отражения соответствуют диапазону координат точек выхода 2,8 £ Х £ 3,0. Угловая ширина спектра на правой границе обрыва графиков также составляет примерно 6° - 7°. Однако наблюдать эти лучи невозможно, так как углы их выхода отрицательны.

Ориентировочные расчеты для других значений амплитуд волны (А < 1) показали, что при уменьшении амплитуды смещение b_гр, при котором начинается полное внутреннее отражение, имеет бóльшие значения. Так для А = 0,5 b_гр = 4,0. Это и понятно, так как меньшей амплитуде А соответствует большая глубина фокусировки каустики Н (рис.10), а угол выхода лучей e определяется в итоге углом g (2.1).

Таким образом, наблюдение радуги на волнистой поверхности озера возможно в точках волны, где проходит граница полного внутреннего отражения лучей, идущих от каустики. При этом наблюдатель видит на дне изображение каустики, окрашенной в радужные цвета. В типичных случаях это соответствует координатам выхода лучей относительно гребня -1 £ Х £ 0 рад, при углах выхода от 0° до 50°, соответственно графикам на рис.6.

Когда волна находится в движении, непрерывно меняется величины смещения каустики b, и наблюдатель может видеть только кратковременную радужную картинку на волне, в тот момент, когда его глаза находятся на пути лучей, идущих под углами, соответствующими границе полного внутреннего отражения.

2. Экспериментальная проверка гипотезы.

Полученные теоретические результаты хорошо объясняют наблюдаемую картину образования радуг на волнах Семицветного озера и других водоёмах. Действительно, радуги там образуются только в той части водоёма, где дно неглубокое и практически плоское. При возмущении водной поверхности образуются затухающие волны и в тот промежуток времени, когда амплитуда волны даёт максимальную фокусировку каустики на дне, происходит образование радужных лучей. Лучи, идущие от солнца, можно считать параллельными, поэтому самая тонкая каустика находится в фокусе линзоподобной волны. Наблюдатель видит каустику на дне водоёма, находящуюся в фокусе волны. При этом возникает наибольшая радужная окраска наблюдаемого объекта.

На фотографиях (рис. 7, 8) показаны эксперименты с цилиндрическими линзами, имитирующими водную волну. На фотографии (рис. 7) отчётливо видно образование каустик, на рис. 8 образование радужного изображения каустики, расположенной в фокусе линзы. Радужные полосы образуются на определённом расстоянии от оси линзы (гребня волны), что является подтверждением теоретических расчётов.

Дальнейшие наблюдения показали, что во многих мелких водоёмах можно наблюдать радуги, образованные волнами на их поверхности при условиях,

Рис.7. Образование каустик. Рис.8. Наблюдение радуги.

которые были определёны в данной работе.

4. Выводы.

Результаты, полученные в ходе выполнения данной работы, позволяют сделать следующие выводы.

1. Впервые исследовано явления формирование каустики при прохождении света через волнообразную поверхность воды. Разработана методика компьютерного построения каустик. Получены графики зависимости глубины каустики от амплитуды волны и угла наклона падающих лучей. Выяснено, что волнообразная поверхность воды подобна цилиндрической линзе с выгнутой фокальной плоскостью.

2. Впервые исследованы условия образования и наблюдения радуги в волнах Семицветного озера и других водоёмов. Для наблюдения радуги необходимы следующие условия: а) каустика должна быть расположена на дне в фокальной плоскости волны; б) наблюдать радугу необходимо под определённым углом, который зависит от смещения каустики по вертикали от гребня волны и её глубины.

3. Проведён эксперимент с цилиндрическими линзами, моделирующий прохождение лучей через водную волну. Результаты эксперимента находятся в полном согласии с теоретическими исследованиями.

Заключение.

Явление образования радуги в волнах Семицветного озера известно уже

более полувека. Однако объяснения этому явлению до сих пор дано не было. В данной работе впервые рассмотрена физическая модель этого явления и произведено подробное его исследование. Выяснены условия, при которых можно наблюдать радугу на водных волнах. Радуги на волнах возможно наблюдать и на других мелких водоёмах, но на Семицветном озере наиболее оптимальные условия для образования радуг.

В научной и научно-популярной литературе достаточно широко описываются и объясняются различные оптические явления в природе. Теперь к ним можно присовокупить и явление образования радуг на волнах водоёмов.

Условия, необходимые для образования и наблюдения радуг на волнах, выясненные в данной работе, можно использовать при создании ландшафтных дизайнов с водоёмами, где будет возможным любоваться этим красивым оптическим явлением.

Литература:

1. Теберда. Домбай. Архыз: Природа. Исторический очерк. Туристско-экскурсионные маршруты. Сост. С. А. Хапаев. - М.: Профиздат, 1989.

2. Семеновское ущелье. http://www.tyan-shan.info

3. М. Миннарт. Свет и цвет в природе. Гос. изд-во физ.-мат. лит., М, 1959.

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Каустика.

5. Ильин М. Рендеринг неограниченной водной поверхности, преломления, отражения, каустики. http://www.uraldev.ru/articles/id/37

6. Физическая энциклопедия. http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0573.html

7. Кошкин Н.И.,. Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. Изд-во «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит. М, 1960.