Экономические науки/8. Математические методы в экономике

Дунець А.О., Костельнюк О.П.

науковий керівник к.п.н., доц. Клочко О.В.

Вінницький національний аграрний університет, Україна

Оптимальне планування в умовах невизначеності цін

Процеси панування та прийняття управлінських рішень відбуваються, як правило, в умовах ризику і невизначеності. Невизначеність і ризики зумовлюються наявністю наступних чинників: відсутністю повної і точної інформації про продукт (послугу) проекту, внутрішнє і зовнішнє середовище реалізації проекту, неможливістю точної оцінки всіх параметрів проекту; постійною присутністю елементу випадковості, тобто неможливістю спрогнозувати чи передбачити всі чинники, які можуть впливати на проект; наявністю суб’єктивних чинників, пов’язаних із можливим протистоянням інтересів учасників проекту або дій структур і організацій, які тим чи іншим чином причетні до реалізації проекту. Ці всі ситуації також збільшують ризики реалізації запланованих дій.

Розглянемо оптимізаційну модель планування, яка є стохастичною моделлю і враховує елементи невизначеності показників.

У моделях математичного програмування деякі або усі параметри показника якості або обмежень можуть виявитись невизначеними або випадковими. Розглянемо модель планування випуску продукції для випадку, коли при заданій нормі ризику визначають максимальний прибуток і оптимальна номенклатура випуску в умовах динамічної ринкової економіки при невизначеності цін на товари. Враховуються такі параметри виробничих процесів: t - момент часу виробництва (t = 1, …, T); X_t - вектор обсягів випуску продукції в момент часу t; Y_t¹ - вектор величин змінних витрат в момент часу t; Y_t² - вектор величин витрат на обладнання в момент часу t; ξ_t - вектор ціни продуктів, які реалізовуються, в момент часу t; с_t^1,2 - ціни ресурсів; ξ_кt Є Р(с_кt, d_кt) - незалежні випадкові величини.

Введемо стандартні обмеження, змінну величину А_і назвемо допустимим гарантованим доходом у момент часу і при заданій нормі ризику α₀. Тоді можна побудувати задачу динамічного стохастичного програмування:

(1)

З метою розв’язування задачі оптимального планування виробництва в умовах стохастики при різних розподілах ціни випущені товари доцільно застосовувати ітераційний алгоритм пошуку оптимального рішення вихідної завдачі - метод стохастичних квазіградіентов [1], в якому використовують точні значення функції розподілу, що на практиці утруднює пошук розв’язку задачі. Як правило, на практиці існує лише масив статистичних даних випадкової величини, тому пропонований метод, побудований на компіляції методу Монте-Карло і методу Бендерса, дозволяє вирішувати початкову задачу в загальному випадку, не маючи точних значень функції розподілу: для вихідної задачі стохастичного програмування при апроксимації лівої частини Р-нерівності методом Монте-Карло на близьке (з ймовірністю близькою до одиниці) за значеннями вираз - побудований ітераційний процес, який сходиться до оптимального значення. Метод ґрунтується на приведенні вихідної завдання до цілочислової задачі лінійного програмування з використанням модифікації ітераційного методу [2]. Процес моделювання за методом Монте-Карло здійснюється у п’ять етапів:

1. Визначення стохастичних характеристик вхідної змінної. Це дозволяє вибрати розподіл ймовірностей, необхідний для здійснення моделювання.

2. Імітація поведінки вхідних змінних за допомогою многократної генерації випадкових чисел з ціллю отримання того ж самого розподілу ймовірностей, як і основна змінна. Цей етап передбачає перетворення випадкових чисел з рівномірним розподілом у випадкові змінні з тим же розподілом, що і змінні, призначені для моделювання. Перетворені змінні і будуть вхідними для моделі.

3. Здійснення моделювання – об’єднання вхідних змінних у відповідності з логікою алгоритму і математичних залежностей, що описують, яким чином зв’язані вхідні змінні і як обчислюються вихідні. За допомогою багатократної генерації випадкових чисел ми отримуємо майбутнє значення шуканої змінної.

4. Багаторазове повторення кроку 3 дозволяє згідно із законом великих чисел знайти математичні сподівання шуканих величин (середні характеристики) та вихідні параметри, що функціонально пов’язані з цими середніми.

5. Застосування техніки контролю скорочення дисперсії допомагає підвищити точність отриманих результатів.

Таким чином, нами побудовано оптимізаційну модель планування, яка є стохастичною моделлю і враховує елементи невизначеності показників. Також наведені рекомендації щодо реалізації процесу розв’язування даної оптимізаційної задачі з використанням компіляції методу Монте-Карло і методу Бендерса. Важливим напрямком використання стохастичних імітаційних моделей є макроекономічне прогнозування тому, що при вивченні економічних процесів, які відбуваються у масштабах країни, потрібно враховувати велику кількість динамічних і стохастичних факторів, вхідних і вихідних параметрів, взаємовплив яких досить важко формалізувати.

Література:

1. Ю.М. Ермольев, А.И. Ястремский. Стохастические модели и методы в экономическом планировании. — М: Наука, 1979.

2. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях. — М: Мир, 1974.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика, 2009.