доцент Волонтир Л.О., студент Герман А.В.

Вінницький національний аграрний університет

МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

Основними елементами моделі масового обслуговування є вимога (клієнт, заявка на обслуговування) та обслуговуючі прилади (сервіси, канали обслуговування, або засоби обслуговування).

Система масового обслуговування – це така система, в якій у випадкові моменти часу надходять вимоги на обслуговування, та обслуговуються за допомогою наявних в системі каналів обслуговування. Слід зазначити, що в системах із одним приладом поняття обслуговуючого приладу та обслуговуючої системи є синонімами. Отже, система масового обслуговування – це об’єкт, в якому виконується послідовність елементарних операцій.

Предметом дослідження є процеси керування неоднорідним трафіком, які реалізовані на основі пріоритетних методів обробки даних. Загальним рішенням цієї проблеми є математична модель багатоканальної системи масового обслуговування (СМО) з неоднорідним потоком запитів різного пріоритету.

Системи масового обслуговування (СМО) зустрічаються повсюди, і це пояснюється широкою розповсюдженістю черг. До числа менш очевидних прикладів належать такі ситуації, коли доводиться затримуватися перед світлофором, очікувати одержання довідки по телефону або, скажімо, чекати на прибуття ранкової пошти. Для всіх цих ситуацій характерним є наявність індивідуумів або об’єктів, що потребують обслуговування, і виникнення затримок у тих випадках, коли обслуговуючий апарат зайнятий.

Одноканальна система з необмеженою чергою. На практиці часто зустрічаються одноканальні СМО з необмеженою чергою (наприклад, телефон-автомат з однією будкою).

Є одноканальна СМО з чергою, на яку не накладені ніякі обмеження (ні по довжині черги, ні за часом очікування). Потік заявок, що поступають в СМО, має інтенсивність, а потік обслуговуванні — інтенсивність . Необхідно знайти граничну вірогідність станів і показники ефективності СМО. Система може знаходитися в одному із станів S_o S₁, S₂, ., S_k, по числу заявок, що знаходяться в СМО: S_o — канал вільний; .S₁ — канал зайнятий (обслуговує заявку), черги немає; S₂— канал зайнятий, одна заявка стоїть в черзі; S_k — канал зайнятий, (до - 1) заявок стоять в черзі і т.д.

Для визначення граничної вірогідності станів скористаємося формулами для процесу загибелі і розмноження (тут ми допускаємо відому не строгість, оскільки раніше ці формули були одержані для випадку кінцевого числа станів системи). Одержимо:

(1)

Гранична вірогідність р₀, р₁, р₂, p_k, утворюють убуваючу геометричну прогресію із знаменником р < 1, отже, вірогідність p₀ найбільша. Це означає, що якщо СМО справляється з потоком заявок (при р < 1), то найбільш вірогідною буде відсутність заявок в системі.

Середнє число заявок в системі L_сист визначимо по формулі математичного очікування, яка з урахуванням (1) прийме вигляд

(2)

(підсумовування від 1 до , оскільки нульовий член p₀ = 0).

Можна показати, що формула (4) перетвориться (при р < 1) до вигляду

(3)

Знайдемо середнє число заявок в черзі L_оч. Очевидно, що

L_оч=L_сист - L_об (4)

де L_об — середнє число заявок, що знаходяться під обслуговуванням.

Середнє число заявок під обслуговуванням визначимо по формулі математичного очікування числа заявок під обслуговуванням, що приймає значення 0 (якщо канал вільний) або 1 (якщо канал зайнятий):

Доведено, що при будь-якому характері потоку заявок, при будь-якому розподілі часу обслуговування, при будь-якій дисципліні обслуговування середній час перебування заявки в системі (черги) рівна середньому числу заявок в системі (у черзі), що ділиться на інтенсивність потоку заявок, тобто:

(5)

(6)

Формули (5) і (6) називаються формулами Літтла. Вони витікають з того, що в граничному, стаціонарному режимі середнє число заявок, що прибувають в систему, рівно середньому числу заявок, що покидають її: обидва потоки заявок мають одну і ту ж інтенсивність.

Висновок. Отже, за дисципліною черги. Найбільше розповсюджено правило: перший прийшов - перший обслуговуєшся. Але у СМО розглядаються й інші варіанти обслуговування, наприклад:

- вимоги за пріоритетом;

- відсутність черги (якщо для обслуговування черги немає вільного каналу або якщо СМО зайнята, то вимога не задовольняється і зникає).

При дослідженні СМО звичайно вважають, що вхідний потік вимог підпорядковується закону Пуассона, за яким розглядають відносно рідкі події. За законом Пуассона ймовірність появи точно К подій із n за проміжок часу t.

Література:

1. Ю.В. Жерновий Імітаційне моделювання систем масового обслуговування / Ю.В. Жерновий// 2007.

2. Ю.П. Зайченко Дослідження операцій. Підручник / Ю.П. Зайченко// - К.:ВІПОЛ, 2000