Математика/ 5. Математическое моделирование

Жунусова А.К.

Школа –лицей №1 города Астаны, Казахстан

Об одной вероятностной модели

1.     Вероятностная модель урновой схемы с шарами

Предположим, что урна содержит N шары, и каждый шар в урне помечен одним из возможных чисел

l1, l2, ..., ln.

Пусть количество шаров в урне с числом l1 является m1, с числом l2 является m2,  и так далее, с числом ln является mn. Допустим, что  значения

p1, … , pn

определяют вероятности (или частности) появления шара с соответствующим числом

l1, l2, ..., ln.

Производится последовательные извлечения  k шаров из урны с возвращением. Причем были извлечены  r1 шары с числом l1 ,  r2 шары с числом l2 ,  и так далее, r n шары с числом ln.

         Пусть значение u представляет сумму чисел на k вынутых из урны шаров.

         Теорема. Вероятность того,  что при последовательном извлечение  k шаров из урны с возвращением, сумма чисел на извлеченных шарах равна u, определяется по формуле

Пример .  Урна содержит 5 шаров, и каждый шар в урне помечен одним из возможных чисел 1,2, 4, причем 2 шара с числом 1, 1 шар с числом 2 и 2 шара с числом 4. Извлекли из урны с возвращением 3 шара. Какова вероятность, что сумма чисел на  извлеченных шарах примет значение 6?

Решение. Из условия задачи N=5, k=3. В этом примере l1=1, l2=2, l3=4. , m1=2, m2=1, m3=2. Вероятность извлечения из урны шара с числом 1 есть

вероятность извлечения из урны шара с числом 2 есть

вероятность извлечения из урны шара с числом 4 есть

Сумма  чисел на  извлеченных шарах примет значение 6 может принять, когда будут извлечены два шара с числом 1 и один шар с числом 4 или три шара с числом 2. То есть u=6, если

или

.

Тогда по теореме имеем

.

2.     Применение вероятностной модели  в исследовании количеств перегруза понизительных трансформаторных подстанций переменного тока

Представим следующую проблему. Наблюдаются годовые суммарные количества перегруза мощностей понизительных трансформаторных подстанций переменного тока города Астаны. Требуется определить вероятность, что на предстоящий период времени количество перегруза примет некоторое значение u.

Перегрузка мощности может быть вызвана следствием внештатного подключения или массовым использованием обогревательных электроприборов. Пусть l1=1 – факт внештатного подключения и l2=1  – факт массового использования обогревательных электроприборов, количество незаконных подключений за год является r1, количство использования обогревательных электроприборов – rn.

Определим значения p1 и p2 как соответствующие  вероятности внештатного подключения и  массового использования обогревательных электроприборов. Из ходя из фактов незаконного подключения, можно утверждать, что p1=0,3, тогда p1=0,7.

         Допустим, причинами перегрузок за год являлись  r1 фактов внештатного подключения и r2 фактов массового использования обогревательных электроприборов. Очевидно, что количество перегрузок за год вычисляется, как

. Так как l1=1 и l2=1, то последнею формулу можно представить как    Последняя формулая явлется формулой разбиения числа u на части l1, l2, ..., ln числом разбиений n.

         Используя теорему, возможно определить вероятность того,  суммарное количество перегруза за год примет значение u, пологая p1=0,3, тогда p1=0,7

По консолидированной отчетности АО «Городские электрические сети» имеем статистические данные за последние 8 лет перегрузок работы трансформаторов и рубильников. Представим эти данные в виде таблицы 1.

Таблица 1. Статистические данные перегрузок мощностей трансформаторных подстанций города Астаны.

 

Года

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Перегрузка работы трансформаторов

34

33

31

37

35

38

36

Перегрузка работы рубильников

108

127

63

77

81

51

40

 

Из ходя из теоремы мы может утверждать, что  вероятности того,  суммарные количества перегрузов трансформаторов за год примет значение статистических данных с 2004 по 2010 года, есть  P(u=34)= 0,0162, P(u=33)= 0.054, P(u=31)= 0,6, P(u=37)= 0,0004, P(u=35)= 0,0049, P(u=38)= 0,0001, P(u=36)= 0,0015. Аналогично, вероятности того,  суммарные количества перегрузов рубильников за год примет значение статистических данных с 2004 по 2010 года, есть  P(u=108)= 0,0002, P(u=127)= 0.00002, P(u=63)= 0,0376, P(u=77)= 0,007, P(u=81)= 0,0043, P(u=51)= 0,1596, P(u=40)= 0,6.

         Из проведенных вычислений видно, что вероятность фактических годовых суммарных перегрузок мощностей принимает значения не более 60%. Из приведенной модели в соответствие с консолидированной отчетностью АО «Городские электрические сети» следует, что вероятность фактических годовых суммарных перегрузок мощностей принимает значения не более 60%.

 

Список используемой литературы

1.     Дж. Риодан. Введение в комбинаторный анализ. Перевод с англ. Л.Е. Садовского. М.: изд. Ин. лит. 1963 г. 287 с.

2.     Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва: Юнити. 2006 г., 571 с.

3.     Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. М.: Наука. 1975.–  424с.

4.     Panaretos J., Xekalaki E. On generalized binomial and multinomial distributions and their relation to generalized Poisson distributions. // Ann. Inst. Math. 1986.V.38.Part A. P. 223 – 231.

5.     Искакова А.С. Об одном классе многомерных дискретных распределений вероятностей сумм прямоугольных матриц. // Известия МОН РК, НАН РК. 2001 г. № 5. С.85–89.

6.     Искакова А.С. Определение наиболее подходящей несмещенной  оценки вероятности оправдываемости прогноза  в метеорологии. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002 г.Том V, 1(9). С.79-84.