Васильев Е.М.

Воронежский государственный технический университет, Россия

Косвенный анализ динамических систем

с нестационарным временем запаздывания

Непрерывный контроль состояния технологических процессов, представляемых динамическими системами с нестационарным временем q запаздывания в контуре управления, должен предусматривать оценку степени близости величины q к своему критическому значению q_кр, при котором система теряет устойчивость и становится неработоспособной.

Получение такой оценки предполагает:

отсутствие каких-либо специальных тестовых воздействий, не предусмотренных технологией производства;

независимость оценки от изменяющихся режимов протекания технологического процесса, сопровождающихся соответствующим изменением значений его параметров.

В реальных системах, функционирующих в условиях постоянно действующих возмущающих воздействий f(t) с широких частотным спектром, выполнение первого из этих требований обеспечивается пассивным контролем произвольной, но доступной для измерения величины y(t), характеризующей не только состояние процесса, но и частотные свойства системы, проявляющиеся в степени проникновения возмущения f(t) в полезный сигнал y(t).

Для выполнения второго требования предлагается использовать критерий нормированного размаха [1-3]:

,

где R_t – размах случайной величины y_i на интервале времени :

;

S_t – среднее квадратическое значение приращений Dy_i=y_i-y_i-1:

;

a – константа, Н – показатель персистентности Херста, y_i – значение функции y(t) на интервале i квантования по времени.

Правомерность использования этого критерия в поставленной задаче обусловлена тем, что по мере приближения времени q запаздывания к критическому значению q_кр замкнутая система начинает усиливать компоненту возмущения f(t), совпадающую с частотой w_p, на которой фазовая характеристика разомкнутой системы равна (-p) рад. Этот эффект проявляется в росте дисперсии S_t случайных отклонений сигнала y(t) при сравнительно меньшем изменении размаха R_t.

Для экспериментальной проверки этого положения использовалась типовая структура системы автоматического регулирования, представленная на рис. 1, где передаточные функции W₁(s) и W₂(s) имеют вид:

задающее воздействие g(s)=0; возмущающее воздействие является случайным сигналом с нормальным распределение значений амплитуды f(t), единичной дисперсией и нулевым математическим ожиданием. Спектр f(jw) возмущения вычислен для варианта дискретизации сигналов с интерполяцией нулевого порядка:

,

где Dt – интервал квантования сигнала по времени, (принято Dt=1 с), и показан на рис. 2.

Критическое время запаздывания для указанных параметров W₁(s) составляет q_кр=1,18 с.

На рис. 3а,б,в приведены сигналы y(t) для вариантов системы с различным временем запаздывания: q=0 с, q=0,8 с, q=1,15 с.

Определение показателя Н осуществлялось аппроксимацией зависимостей R_t/S_t по параметрам а и Н методом наименьших квадратов отклонений.

Сопоставление рис. 3а,б,в показывает, что при увеличении времени запаздывания q наблюдается предсказанный заметный рост отклонений Dy_i, возбуждаемых на частоте w_p, системы, в меньшей степени влияющих на значение размаха R_t. Результирующий эффект состоит в уменьшении показателя Н.

Литература:

1. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики / А.И. Чуличков. – М.: Физматлит, 2003. – 296 с.

2. Mandelbrot B.B. Fractional Brownian motions, fractional noises and application / B.B. Mandelbrot, J.W. Van Ness. – SIAM Rev., 1968, №10, p.422-437.

3. Федер Е. Фракталы / Е.Федер. – М.: Мир, 1991. – 254 с.