Технические
науки/2. Механика
Гавеля Г.М.
Тонкостенные оболочки находят широкое применение в качестве несущих и защитных элементов в ракетостроении, атомных реакторах, кораблестроении, металлургии. Диагностика реального состояния тонкостенных конструкций в процессе эксплуатации весьма актуальна. Процесс мониторинга таких конструкций, обычно связанный с измерением перемещений, весьма затруднен, обусловленность такой задачи диагностики весьма низка. Поэтому разработка таких математических моделей и методов идентификации отклонений в номинальных параметрах тонкостенных конструкций, в частности, толщины (ее изменение образуется в процессе изготовления или эксплуатации), даст возможность повысить надежность их эксплуатации.
В данной работе рассматривается задача об определении функции распределения
толщины по поверхности оболочки по результатам наблюдений. В качестве
наблюдаемых параметров выступают значения функций , характеризующих напряженно-деформированное состояние (НДС)
в точках измерений; главной особенностью таких обратных задач является
некорректность [1]. Поэтому для решения поставленной задачи должен быть
использован метод регуляризации [4], в качестве которого может быть использован
прием выбора решения на множестве корректности, тогда задача определения
неизвестной толщины
может быть
сформулирована как
, (1)
где − наблюдаемые
значения функций НДС,
− множество
корректности (компакт),
− множество
возможных состояний оболочки,
− метрика в
пространстве состояний, которая должна быть задана на основе учета свойств
решений прямой задачи [4],
− функция,
характеризующая распределение толщины.
Для поиска решения из соотношения (1)
при известном решении прямой задачи может быть использована нейросетевая
аппроксимация, если принять, что
,
– вектор входных
значений нейросети,
,
– вектор её выходных
значений [2,3]. Поведение тонкостенной оболочки переменной толщины в
ограниченной пространственной области
, где
− вектор пространственных координат, описывается соотношениями:
(2)
где −
вектор-функция перемещений,
− граничные
контуры области
,
− заданные
дифференциальные операторы,
− внешнее
воздействие. В качестве математической модели обратной задачи выбрана
нейросетевая аппроксимация; в случае использования двухслойного персептрона
имеем
, (3)
где – активационные
функции,
– число нейронов в
слоях;
– вектор
настраиваемых параметров;
– значения заданных
функций в фиксированных точках области
.
Для получения решения из уравнений (2) и использования
его в структурной схеме обучения сети (3) используется метод конечных
элементов. Для аппроксимации всех функций задачи вводятся следующие сетки:
1) для решения прямой задачи НДС
тонкостенной оболочки вводится сетка с координатами узлов , где
, и соответствующими значениями для функции
,
;
2) для структурирования информации о наблюдаемых значений функции вводится сетка с
координатами узлов
,
,
,
и значениями
,
;
3) для описания функции толщины вводится сетка
,
,
, с соответствующими
значениями функции
,
.
Для решения задачи (2) используется аппроксимация на элементе в виде:
, (4)
где – матрица функций
формы;
– вектор узловых значений
функции перемещений.
После выполнения процедуры метода Бубнова-Галеркина для задачи (2) с учетом
аппроксимации (4) и суммирования матриц элементов можно получить систему
линейных алгебраических уравнений
, (5)
где – матрица жесткости,
– вектор внешней
нагрузки.
Предложенный подход был реализован для
идентификации толщины цилиндрической оболочки, находящейся под действием
внешнего равномерно распределенного давления. Геометрические и физические
параметры оболочки: радиус , длина
, толщина
, модуль упругости
, коэффициент Пуассона
.
В качестве обучающей выборки использовались различные варианты расположения
областей изменения толщины с соответствующими наблюдаемыми прогибами, в
качестве нейронной сети – двухслойный персептрон. Участок разнотолщинности
располагался в диапазоне ,
, где
– координаты центра
тяжести участка утонения (утолщения). Изменение значений
проводилось на
координатной сетке
, т.к. граница области разнотолщинности совпадала с границей
элементов сетки
. Толщина изменялась в диапазоне значений
, где
,
.
В таблице приведены результаты прогноза значений толщины
по результатам наблюдений, в качестве которых использовались значения
перемещений, определенные из тестовых прямых расчетов, не входящих в выборку.
Область |
Координаты
центра области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2.355 |
2.25 |
0.07713 |
0.07559 |
2 |
2.355 |
2.25 |
0.06856 |
0.06650 |
3 |
|
2.355 |
2.25 |
0.05999 |
0.05849 |
2.5 |
|
2 |
7.065 |
6.75 |
0.07713 |
0.07481 |
3 |
7.065 |
6.75 |
0.06856 |
0.06684 |
2.5 |
|
7.065 |
6.75 |
0.05999 |
0.05867 |
2.2 |
|
3 |
11.775 |
11.25 |
0.07713 |
0.07535 |
2.3 |
11.775 |
11.25 |
0.06856 |
0.06664 |
2.8 |
|
11.775 |
11.25 |
0.05999 |
0.05819 |
3 |
Из таблицы видно, что применение предложенного алгоритма
идентификации толщины дает достаточные по точности результаты. Предложенный
алгоритм может быть использован в соединении с результатами мониторинга для
идентификации толщины оболочки в реальных элементах систем при их эксплуатации.
1. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого
твердого тела – М.: Физматлит, 2006. – 222 с.
2. Гук Н.А., Ободан Н.И., Гавеля Г.М. Выбор критерия
идентификации в обратных задачах теории оболочек // Проблеми обчислювальної
механіки і міцності конструкцій. – Д.: Наука і освіта, 2010.–Вип..14.–С.123 –
133.
3. Ободан Н.И., Рундуев К.В.
Восстановление нагрузок, действующих на наблюдаемые тонкостенные системы, с
помощью ядерных нейронных систем // Проблеми обчислювальної механіки і міцності
конструкцій. – Д.: Наука і освіта, 2010.–Вип..14.–С.267 – 277.
4. Тихонов А. Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных
задач – М.: Наука, 1986. – 286 с.