Ершова Н.М., Шибко О.Н.

Приднепровская государственная академия строительства

и архитектуры

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ УПРАВЛЕНИЯ И ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ВЫПУСКА

ВАЛОВОГО ПРОДУКТА

Методы и средства представления объекта управления в технической кибернетике образуют комплекс задач при аналитическом конструировании регулятора. Регулятор – это устройство, оценивающее в каждый момент текущее состояние объекта и на основе этой оценки вырабатывающее входные воздействия, которые выводят объект в заданную точку пространства состояний. При этом реализуется принцип обратной связи – текущее управляющее воздействие является функцией текущего состояния объекта.

Задача синтеза систем при случайных воздействиях и помехах называется задачей аналитического конструирования устройств активного управления. Метод стохастического динамического программирования содержит в своем алгоритме алгоритмы двух других методов: динамического программирования для непрерывных детерминированных динамических систем и оптимальных фильтров Калмана-Бьюси [1]. Следовательно, для разработки устройств управления, которые могли бы полностью реализовать алгоритм стохастического динамического программирования, решать задачу активного управления динамическими процессами следует поэтапно: вначале спроектировать пассивную систему; затем, если необходимо, создать механизм активного управления, реализующий закон управления или матрицу параметров оптимального фильтра.

Аналитическое конструирование устройств управления на основе метода стохастического динамического программирования динамическими процессами экономических систем представлено работе [2].

В этом методе математическая модель объекта управления имеет вид:

(1)

где – неизвестный вектор состояния системы; – вектор управления; – вектор входных возмущений; – вектор наблюдения; – вектор ошибок измерений; – вспомогательные матрицы соответствующих размеров.

Входное возмущение и ошибки измерений выходных координат системы считаются гауссовскими случайными процессами типа белого шума с нулевым математическим ожиданием. Следовательно, их корреляционные функции принимаются в виде где d(t) – дельта-функция Дирака; – матрица, элементами которой являются дисперсии входного возмущения; – матрица, элементами которой являются дисперсии ошибок измерения компонент вектора состояния. Начальное состояние системы представляет собой гауссовскую векторную случайную величину, не зависящую от входного возмущения и ошибок измерительных приборов, с математическим ожиданием и известной корреляционной матрицей элементами которой являются требуемые дисперсии выходных координат системы.

В качестве критерия оптимальности принимается функционал

(2)

где – матрица весовых коэффициентов, учитывающих весомость компонент вектора состояния; – матрица весовых коэффициентов вектора управления; символ означает операцию математического ожидания; символ в выражении интеграла – транспонирование матриц. Физический смысл функционала – удержать средние значения компонент вектора состояния около положения устойчивого равновесия без слишком большой затраты (энергии, денежных средств и др.) на управление.

Ставится задача: определить закон управления по оценке вектора состояния системы, полученной на основе измерения ее выходных координат на интервале времени , доставляющий минимум функционалу.

В соответствии с теоремой разделения оптимальное управление в системе, представленной уравнениями (1), доставляющее минимум функционалу, имеет следующий вид:

(3)

где – обратная матрица; - транспонированная матрица; - оценка вектора состояния системы; – матрица–результат решения матричного дифференциального уравнения Риккати:

(4)

Оценка вектора состояния системы определяется из решения дифференциального уравнения

(5)

при В уравнении (5) – корреляционная матрица ошибки оценки, получаемая из решения дисперсионного уравнения типа Риккати:

(6)

Матрица параметров оптимального фильтра формируется из уравнения (5)

(7)

Таким образом, стохастическое динамическое программирование позволяет создать пассивную систему и ввести в нее активное управление по оценке вектора состояния исследуемой системы.

Определим матрицу параметров оптимального фильтра для управляемого процесса выпуска валового продукта фирмы

или (8)

где - объем внешних инвестиций фирмы.

Представим уравнение (8) в форме Коши, принимая

(9)

Опишем состояние системы в соответствии с методом стохастического динамического программирования

(10)

где

В качестве критерия оптимальности примем функционал качества:

(11)

или в матричной форме ,

где - весовые коэффициенты функционала. Физический смысл функционала – средние затраты денежных средств на поддержание стабильного функционирования фирмы.

Матрицы функционала имеют вид:

; .

Закон оптимального управления процессом выпуска валового продукта

(12)

Матрица определяется из системы дифференциальных уравнений типа Риккати

(13)

Для определения оценки вектора состояния процесса необходимо иметь корреляционную матрицу . В дисперсионное уравнение, из решения которого она получается, входят матрицы

;

где – дисперсия ускорения ввода внешних инвестиций; – дисперсии ошибок измерений компонент вектора состояния.

(14)

, где - требуемые дисперсии процесса выпуска валового продукта и производственной мощности фирмы.

Следовательно, матрица параметров оптимального фильтра имеет вид:

(15)

Рассматриваемый пример характерен для модернизации действующих фирм. В расчетах, связанных с проектированием новых фирм, необходимо принять матрицу из метода динамического программирования для непрерывных детерминированных систем, т. е.

В экономических системах возникает проблема представления субъекта управления. Субъект управления – это система, которая ставит и решает задачи.

В соответствии с принципом Беллмана процесс определения решений, протяженных во времени, разворачивается из будущего в обратной временной последовательности. Следовательно, если для объекта воспользоваться свойством обратимости системы влево [3], то получим субъект управления.

Планирующее устройство (планировщик) и регулятор основаны на общих принципах и роли их аналогичны. Подключенный к субъекту планировщик осуществляет планирование, т.е. выявляет и формулирует цепочку промежуточных целей субъекта. В процессе управления субъект и объект взаимодействуют, но не напрямую, а путем взаимодействия планировщика и регулятора в форме реализации плана или программы.

Для построения математической модели субъекта принята модель объекта. без учета внешнего возмущения, т.е. на вход объекта поступает вектор управления - множество управленческих воздействий, выходом является вектор - вектор наблюдения, т.е. математическая модель объекта имеет вид:

(16)

Объект управления представляется в виде черного ящика, вход и выход которого можно непосредственно наблюдать и по ним оценивать текущее состояние для выработки текущего входного воздействия . Этим занимается устройство управления, которое по структуре объекта () настраивается на него в процессе регулирования.

Для системы (16) использовано свойство обратимости влево. Для этого составлена сопряженная система, в которой через - обозначен вектор целевого состояния системы. Сопряженная система получается из исходной путем следующих преобразований: обращение времени; перестановка матриц, связанных с входной и выходной переменными; транспонирование матриц .

(17)

Свойство обратимости системы влево позволяет по ее выходу определить вход, т.е. построить модель субъекта управления (18).

(18)

Назначение планировщика в этом случае состоит в оценке вектора целевого состояния системы. Математическая модель планировщика строится по математической модели устройства управления.

Для процесса выпуска валового продукта матрица параметров оптимального планировщика имеет вид:

(19)

Сравнивая матрицы (15) и (19) отмечаем, что матрица по форме является транспонированной по отношению к матрице системы (10) и , но матрица отличается от матрицы знаками присоединенных составляющих к элементам матрицы .

Литература:

1. Ершова Н.М. Оптимальное проектирование системы подвешивания железнодорожных экипажей: дис. на соискание науч. степени докт. техн. наук: спец. 05.22.07 «Подвижной состав железных дорог и тяга поездов» / Ершова Нина Михайловна; Белорусский ин-т инж. ж.д. трансп. – Гомель, 1989. – 374 с.

2. Ершова Н.М. Моделирование динамических процессов экономических систем: Конспект лекций / Н.М. Ершова. – Днепропетровск: ПГАСА, 2007. – 112 с.

1. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т. Леондеса. Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 407 с.