Стельмашук Н. Т., Шилинец В.А., Студент Р.В.
Белорусский государственный педагогический университет
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Пусть – некоторая односвязная
область трёхмерного действительного евклидова пространства
Рассмотрим
дуальные функции вида
, (1)
(2)
где – действительные
функции класса
Для
любых точек и
области
полагаем
Определение. Дуальная функция называется
-моногенной по дуальной функции
в области
, если существует такая дуальная функция
– однозначная действительная функция точки
области
), что для любой фиксированной точки
и любой переменной
точки
имеем
где при
.
Предметом
исследования является следующая система дифференциальных уравнений в частных
производных:
(3)
где – действительные
функции класса
Легко
показать, что система дифференциальных уравнений в частных производных (3)
выражает условие моногенности в смысле В.С. Фёдорова
(-моногенности) дуальной функции (1) по дуальной функции (2) в
односвязной области
Рассмотрим
следующую краевую задачу.
Задача. Пусть – трёхмерная ограниченная область с
границей
Полагаем далее, что
и функция
,
-моногенная по
, определены на замкнутой двумерной поверхности
, гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой для возможности
использовать формулу Остроградского. Требуется найти в любой внутренней точке
области
значение функции
,
- моногенной по функции
, если известны её значения на поверхности
.
Для
указанной функции и произвольной точки
, не лежащей на поверхности
,
полагаем [3]:
(4)
где – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности
в её текущей точке
,
Пусть – любая данная точка области
,
.
Теорема 1. Для любой дуальной
функции ,
-моногенной по дуальной функции
в области
, имеем
, где интеграл
определяется
равенством (4).
Доказательство.
По формуле Остроградского получим
Отсюда и из условий -моногенности функции
по функции
в области
, так как
получим
Теорема
2. Если дуальная функция является
-моногенной по дуальной функции
в области
, то для любой точки
, лежащей внутри
, имеем
Доказательство. Пусть – сфера с центром в точке
, расположенная внутри
.
Если
– радиус сферы
, то имеем
(5)
Известно, что (
элемент единичной сферы).
Из равенства (5) получаем
(6)
Из теоремы 1 следует, что Тогда из равенства
(6) имеем
С помощью теоремы 2 и решается
сформулированная краевая задача.
Литература
1.
Фёдоров В.С. Основные
свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика. –1958. –№6.
–С. 257–265.
2. Stelmashuk N.T.,
Shylinets V.A. The solytion of the boundary value problem for a system of
equations in formal derivatives by means of dual differential operators // Tp. Ин-та математики. – 2004. –Т.12, №2.
–С. 170–174.
3.
Фёдоров В.С. Об одном
обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве // Известия вузов.
Математика. –1957. –№1. –С.227–233.