Стельмашук Н. Т., Шилинец В.А., Студент Р.В.

Белорусский государственный педагогический университет

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Пусть – некоторая односвязная область трёхмерного действительного евклидова пространства

Рассмотрим дуальные функции вида

, (1)

(2)

где – действительные функции класса

Для любых точек и области полагаем

Определение. Дуальная функция называется -моногенной по дуальной функции в области , если существует такая дуальная функция

– однозначная действительная функция точки области ), что для любой фиксированной точки и любой переменной точки имеем

где при .

Предметом исследования является следующая система дифференциальных уравнений в частных производных:

(3)

где – действительные функции класса

Легко показать, что система дифференциальных уравнений в частных производных (3) выражает условие моногенности в смысле В.С. Фёдорова

(-моногенности) дуальной функции (1) по дуальной функции (2) в односвязной области

Рассмотрим следующую краевую задачу.

Задача. Пусть – трёхмерная ограниченная область с границей Полагаем далее, что и функция , -моногенная по , определены на замкнутой двумерной поверхности , гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой для возможности использовать формулу Остроградского. Требуется найти в любой внутренней точке области значение функции , - моногенной по функции , если известны её значения на поверхности .

Для указанной функции и произвольной точки , не лежащей на поверхности ,

полагаем [3]:

(4)

где – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности в её текущей точке ,

Пусть – любая данная точка области , .

Теорема 1. Для любой дуальной функции , -моногенной по дуальной функции в области , имеем , где интеграл определяется равенством (4).

Доказательство. По формуле Остроградского получим

Отсюда и из условий -моногенности функции по функции в области , так как получим

Теорема 2. Если дуальная функция является -моногенной по дуальной функции в области , то для любой точки , лежащей внутри , имеем

Доказательство. Пусть – сфера с центром в точке , расположенная внутри .

Если – радиус сферы , то имеем

(5)

Известно, что ( элемент единичной сферы).

Из равенства (5) получаем

(6)

Из теоремы 1 следует, что Тогда из равенства (6) имеем

С помощью теоремы 2 и решается сформулированная краевая задача.

Литература

1. Фёдоров В.С. Основные свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика. –1958. –№6. –С. 257–265.

2. Stelmashuk N.T., Shylinets V.A. The solytion of the boundary value problem for a system of equations in formal derivatives by means of dual differential operators // Tp. Ин-та математики. – 2004. –Т.12, №2. –С. 170–174.

3. Фёдоров В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве // Известия вузов. Математика. –1957. –№1. –С.227–233.