Математика/5. Математическое моделирование

к.ф.-м.н. Тусупова С.А.

Университет «Туран», Республика Казахстан

Математическое моделирование собственных колебаний цилиндрических оболочек с конструктивными особенностями. Оболочки, подверженные кручению.

Случай нагружения упругих конструкций крутящими моментами очень нередки и поэтому представляют некоторый интерес.

В работе исследовано влияние сдвигающих усилий на спектр собственных частот цилиндрических оболочек.

В качестве исходных уравнений использовались уравнения:

,

, (1)

,

которые отличаются от упрощенных уравнений

,

,

для ненапряженной оболочки наличием члена в последнем уравнении.

Для краевых условий Навье система (1) приводит к уравнению частот, которое после упрощений принимает вид

(2)

или , (3)

где - параметр частоты ненапряженной оболочки (), - коэффициент влияния сдвигающих усилий на частоту оболочки, определяемый из равенства

. (4)

Полагая в (103) (2) , можно найти крутящий момент, соответствующий потере устойчивости оболочки

. (5)

Исследование выражения (4) показало, что имеет экстремум при значении n, соответствующем форме потери устойчивости при скручивании оболочки.

Данную задачу можно также решать энергетическим методом. Задавая внутренние напряжения оболочки в форме

,

(6)

,

где - внутренние статические напряжения, обусловленные внешней статической нагрузкой, - малые изменения, вызванные колебаниями оболочки, выражения кинетической и потенциальной энергий выводятся из предположения, что статические напряжения не изменяются в процессе колебаний.

Компоненты перемещений брались в следующем виде

,

, (7)

,

где - статические перемещения относительно положения равновесия, обусловленные предварительными напряжениями, - малые перемещения относительно положения статического равновесия.

Подстановка (7) в выражение энергий приводит к двум группам, содержащим статические и динамические члены.

Используя принцип Гамильтона – Остроградского, можно получить две системы уравнений движения, одна из которых определяет положение равновесия, в то время как другая – описывает малые колебания относительно этого положения равновесия. Первая систему уравнений можно исключить из рассмотрения, а решение искать в виде

,

, (8)

.

Ограничиваясь рассмотрением мод колебаний, которые удовлетворяют неравенству Юаня, уравнение 8-го порядка сводится к упрощенному характеристическому уравнению 4-го порядка, для которого можно записать общее выражение корней.

Используя затем соответствующие краевые условия, можно получить трансцендентное уравнение частот, содержащее формальное решение задачи.

Экспериментальные исследования, приведенные в работе [2], осуществлялись на стальных оболочках, защемленных по краям.

На рис. 1 экспериментально найденные значения частот сопоставлены с рассчитанными значениями. Соответствие теоретических и экспериментальных результатов наблюдаются вплоть до потери устойчивости, когда теория перестает быть справедливой. Некоторое различие в значениях частот, заметное при n = 9 и увеличивающееся при уменьшении n, объясняется, по-видимому, приближением , используемым в теории.

Рис. 1

Визуализация узловых картин колеблющейся оболочки позволила обнаружить, что крутящий момент, приложенный к оболочке, обращает продольные узловые линии в винтовые.

На основании теоретических и экспериментальных исследований [1, 2] можно сделать следующие заключения:

1. Крутящий момент изменяет форму моды колеблющейся оболочки. Продольные узловые линии искривляются, образуя ряд винтовых линий. При этом угол винтовой линии увеличивается с возрастанием крутящего момента и приближается к форме потери устойчивости.

2. Увеличение крутящего момента приводит к уменьшению собственных частот всех мод колебаний вплоть до , когда наступает потеря устойчивости.

3. Скорость этого убывания неодинакова и увеличивается при подходе к пределу устойчивости.

4. Степень влияния сдвигающих усилий на собственные частоты зависит от параметров оболочки, моды колебания и может быть оценена по выражению (4) для коэффициента влияния .

5. Нетрудно убедиться в том, что влияние сдвигающих усилий увеличивается по отношению к более тонким оболочкам.

6. Крутящий момент практически не изменяет собственных частот осесимметричных колебаний.

7. Для колебаний балочного типа влияние сдвигающих усилий незначительно и становится заметным лишь у очень тонких и относительно длинных оболочек.

8. С увеличением числа окружных волн деформаций степень влияния окружных усилий возрастает

9. Влияние сдвигающих усилий на частоты ослабляется для мод колебаний, характеризующихся короткими осевыми волнами (рис. 1 б).

10. Оболочки, подверженные крутящему моменту, обладают более плотным спектром собственных частот по отношению к ненапряженным оболочкам. При этом максимум плотности соответствует моментам, близким к критическому значению.

Литература:

1. Никулин М.В., Собственные колебания цилиндрических оболочек, предварительно нагруженных крутящими моментами, Сб. «Прочность цилиндрических оболочек», ЦИАМ, 1959.

2. Koval L.R., Cranch E.T., On the free vibrations of a thin walled circular cylindrical shell subject to on initial, static torque, Proc. of the IVUS Nat. congress Appl., Mech., 1962, p.650-660.