Аширбаев Н. К.
Южно - Казахстанский
государственный университет,Республика Казахстан
Особенности поведения
контурных точек при распространении плоских волн
в
однородном теле прямоугольного
сечения
Ниже исследована задача о распространении динамических
возмущений в однородном массиве конечных размеров. Для простоты рассматривается
тело, сечение которого имеет форму прямоугольника. Нестационарная динамическая
проблема в однородных телах была предметом многочисленных исследований [1 – 6]. Основная цель, которая
преследуется в настоящей работе, заключается в анализе влияния характера
изменения внешней нагрузки на распространение динамических возмущений в упругой
однородной среде и анализе явлений, происходящих на границе тела. Эти вопросы
не получили надлежащего раскрытия в упомянутых работах. Следует отметить, что динамическая нагрузка приложена на
ограниченном участке границы. По координате она имеет П–образную форму, а во
времени изменяется в виде синусоидального импульса. Таким образом, по координате
граничные условия не являются непрерывными. Они терпят разрыв первого рода в
точках, в которых начинается действие П–образной динамической нагрузки. Такие
точки являются особыми и при протекании динамических процессов являются
источниками дополнительных дифрагированных волн. Сформулированная в терминах
напряжений и скоростей смешанная задача
моделируется численно с помощью явной разностной схемы сквозного счета, основанной на методе
пространственных характеристик[1-3].
Постановка задачи. Исследуется
плоская деформация упругого тела с прямоугольным поперечным сечением. Сечение имеет размеры 0 £ x 1 £ L 1 и –
L £ x 2 £ L.
В
начальный момент времени t = 0 на части L* £ x 2 £ L** поверхности
x 1 = 0
прикладывается внешняя нормальная П–образная нагрузка
p +q = f (x 2, t) = A sin (wt),
0 £ t £ t*
(1)
t = 0,
изменяющаяся
во времени t и постоянная
по поперечной координате x 2 , а
остальная часть поверхности x 1 = 0 свободна от напряжений. В (1) принято, что A – амплитуда внешней нагрузки, а w её частота. Нагрузка действует на ограниченном
участке времени t*, определяя период его воздействия и соответствующую
длину волны силы возбуждения. В моменты времени, превышающие t *,
нагрузка на этом участке границы полностью снимается, т.е. считается
p + q = 0,
при t ³ t* (2)
t = 0.
Поверхность x 1 = L 1 не нагружена и потому считается свободной от
каких–либо воздействий, т.е.
p + q = 0,
при t ³ 0 (3)
t = 0.
Наконец, поверхности x 2 = ± L предполагаются закрепленными и на
них скорости перемещений равны нулю в любой момент времени, т.е.
v1 (x 1; t) = v2 (x 1; t) = 0, при
t ³ 0 (4)
Перечисленные граничные условия (1) – (4) должны быть дополнены
начальными условиями.
Предполагается, что в
начальный момент времени (t
= 0)
тело не нагружено
и находится в
состоянии покоя, т.е.
v1(x1;
x 2; 0) = v 2 (x1; x 2; 0) = p
( x1; x 2; 0) = q (x1; x 2;
0)=
= t (x1; x 2; 0) = 0. (5)
В условиях плоской деформации волновой процесс во
внутренних точках полосы описывается системой динамических уравнений гиперболического
типа, содержащей в качестве неизвестных безразмерные напряжения p, q, t,
скорости
перемещений v 1 ,v 2 [1-3].
v1, t – p , 1 – q , 1 – t , 2 = 0 ; v2, t – p , 2 – q , 2 – t , 1 = 0 ; ( 6 )
g 2 ( g 2 –
1 ) -1 p , t – v1 ,1 – v2 , 2= 0
; g 2
q , t – v1 ,1+ v2 , 2 = 0 ;
g 2
t , t – v1 , 2 +
v2 , 1 = 0 .
Поставленная
задача решена методом пространственных характеристик, подробный алгоритм
численной реализации которого изложен в [1-3]. В дополнение к известным
соотношениям [1-3] получены разрешающие уравнения в особых точках x
2 = L* и x 2 = L** границы х1=0,
для нахождения искомых функций, в которых граничные условия терпят разрыв
первого рода.
На базе
разработанного алгоритма численной реализации создана единая программа расчетов
на языке Фортран для персональных ЭВМ.
В качестве материала исследуемой изотропной среды используется сплав 30ХГСА со
следующими свойствами: плотность r = 7.9 * IO3 кг/m3, модуль упругости E = 200 ГПа,
коэффициент Пуассона n = 0.3. Для этих характеристик
материала скорость распространения продольной волны с1 составляет 5817
m/сек, а скорость распространения сдвиговой волны с2
оказывается равной 3109 m/сек. Безразмерный параметр g для рассматриваемого материала
оказывается равен 1.87.
Расчеты проведены для прямоугольной области 0 £ x1 £ 100 h1 и ½ x 2 ½ £ 100 h 2. При
этом h1 = h 2 = h = 0.05. Шаг по
времени t выбран в соответствии с необходимыми условиями устойчивости используемой явной расчетной
схемы. В расчетах он считался равным t = 0.025.
Коэффициент А в равенстве (1) принят равным единице, а период приложенной
импульсной нагрузки был выбран равным Т = 100t. Таким образом,
круговая частота динамической нагрузки w принята равной w = p / Т = p / 100t.
Обсуждается
характер изменения во времени продольных v1,
поперечных v2 скоростей частиц при распространении динамических
возмущений, нормальных волн напряжений p – q , а также
энергии деформации U на граничных лицевой x 1 = 0 и тыльной x 1 = 100 h поверхностях
исследуемого тела..
ЛИТЕРАТУРА
1. Клифтон Р. Дж. Разностный метод в плоских задачах
динамической упругости. - Механика (Сб.перев.), 1968, N1, с.103-122.
2.
Ержанов Ж. С., Каримбаев Т. Д., Байтелиев Т. Б. Двумерные волны напряжений в
однородных и структурно-неоднородных средах. - Алма-Ата: Наука, 1983, 171 с.
3.
Ержанов Ж. С., Каримбаев Т. Д., Байтелиев Т. Волны напряжений в однородных и
неоднородных средах. – Алматы: Гылым, 1998, 142 с.
4.
Аширбаев Н. К., Байтелиев Т. Б. Каримбаев Т. Д. Аналитические исследования
влияния инородных включений на параметры волнового движения в упругом прямоугольнике
// Изв. АН СССР, МТТ, 1987, N4, с. 126 –
133.
5. Аширбаев Н. К. Каримбаев Т. Д. Байтелиев Т.
Б. Волновое поле в прямоугольной пластине с нецентральным отверстием //
Прикладная механика, Киев, 1990, Т. 26, N 5, C. 76 – 81.
6. Чебан В. Г. и др. Численные методы решения задач
динамической теории упругости. – Кишинев: Штиинца, 1976, 225 с.