Технические
науки/2. Механика
Кубентаева Г. К., Нурмаханов Б.Н.
Восточно-Казахстанский государственный технический университет им.
Д. Серикбаева, Казахский национальный
технический университет, Казахстан
Получение новых
кривых на основе биквадратичного
преобразования г4
Одним из направлений исследования в начертательной геометрии является
разработка теории геометрических преобразований применительно к решению
инженерно-геометрических задач [1-2].
Графическая модель биквадратичного преобразования
Г4 была определена в работе [3].
Рассмотрим свойства биквадратичного
преобразования Г4, где прообразом задается прямая.
Для получения новых кривых прямую-прообраз
(р) подвергаем биквадратичному преобразованию Г4. Каждая
точка-прообраз преобразуется в четыре точки-образы. Последовательно соединяя
полученные точки-образы, построим образ и обозначим его символом р'. Прообраз
преобразуется в общем случае в кривую 4-го порядка. На рисунке 1 показано
преобразование точки-прообраза 1 прямой (р) в четыре точки-образы 1´1,
1´2, 1´3 и 1´4 с
использованием графической модели биквадратичного преобразования Г4.
В результате прямая (р) преобразуется в две кривые 4-го порядка (р¢). В таблице 1 приведены различные случаи построения
кривых-образов, где α угол наклона прообраза к оси ОХ1 будет
последовательно равным 0°, 30°, 45°, 60°и 90°. При этом, прообраз (р)
пересекает ось ОХ1 на расстоянии t относительно начало координат.
Анализ рассмотренных примеров позволяет
выявить следующие закономерности изменения формы образа р′:
1)
если прообраз расположен
под углом наклона к оси ОХ1 a=60° и на расстоянии t>0 или t<0, то получаются одинаковые две кривые 4-го
порядка (таб. 1, рис. 2 и 3);
2)
при удалении прообраза
от начало координат (t>0), при a=60°, наблюдается увеличение размеров образов (таб. 1, рис.2 и 4);
3)
при a=60° и расстоянии t= 0 образ
вырождается в кривую 2-го порядка (таб. 1, рис. 5);
4)
если прообраз расположен
параллельно оси ОХ2, то образ вырождается в две кривые 2-го порядка
(таб. 1, рис. 6,7 и 8);
5)
при удалении прообраза
от начало координат (t>0), где a=90° наблюдается увеличение размеров образов (таб. 1, рис. 6 и 8);
6)
если прообраз совпадает
с осью ОХ2, то наблюдается частный случай, образ вырождается в
окружность (таб. 1, рис. 9);
7)
при расположении
прообраза под углом наклона к оси ОХ1 a=45° и на расстоянии t>0 или t<0, наблюдается образование одинаковых двух кривых
4-го порядка (таб. 1, рис. 10 и 11);
8)
при удалении прообраза
от начало координат (t>0), при a=45°, наблюдается увеличение размеров образов (таб. 1, рис. 10 и 12);
9)
при a=45° и расстоянии t= 0 наблюдается
частный случай, образ вырождается в две прямые линии параллельные оси ОХ2
(таб. 1, рис. 13);
10)
если прообраз расположен
под углом наклона к оси ОХ1 a=30° и расстояние t>0 или t<0, наблюдается образование одинаковых четырех
кривых 2-го порядка (таб. 1, рис. 14 и 15);
11)
при удалении прообраза
от начало координат (t>0), при a=30°, наблюдается увеличение размеров образов (таб. 1, рис. 14 и 16);
12)
при a=30° и расстоянии t= 0 образ вырождается в две кривые 2-го порядка (таб.
1, рис. 17);
13)
если прообраз расположен
параллельно оси ОХ1 то образ вырождается в две кривые 2-го порядка
(таб. 2, рис. 1);
14)
если прообраз расположен
на расстоянии R от оси ОХ1, при a=0°, то наблюдается образование одинаковых двух кривых 2-го порядка (таб.
2, рис. 1 и 2);
15)
при удалении прообраза
от начало координат (t>0), при a=0°, наблюдается увеличение размеров образов (таб. 1, рис. 1 и 3);
16)
если прообраз совпадает
с осью ОХ1, то образ вырождается в две кривые 2-го порядка (таб. 2,
рис. 4).
Таким образом, предложен новый способ получения кривых 4-го порядка с
использованием графической модели биквадратичного преобразования Г4,
который позволяет получить различные кривые 4-го порядка в зависимости от
значений параметров прообраза.
Рис. 1
