Математика/5. Математическое моделирование

Агейков В.Ю.

Алтайский государственный технический университет, Россия

Теоретико-групповой подход к этапам математического

моделирования пресноводных экосистем

Первый этап математического моделирования включает в себя формулирование законов связывающих основные объекты модели. В данном исследовании происходит достройка моделей с ориентацией на теорему о редукции [6].

На этом этапе для модели качества воды в реке [8, 13] использованы граничные условия, сводящие ее к более простым формулам — первому порядку дифференциальных уравнений. Вместо нахождения операторов допускаемых групп [3, 4, 6], редуцирующих порядок дифференциальных уравнений, из приемлемых граничных условий получен подобный редукции результат.

Аналитическая модель озера в версии двух уравнений "органика - фосфор" [1, 2] имеет такой вид записи дифференциальных уравнений, который позволяет надеяться на существование для этой системы полного комплекта разрешимых групп Ли [6]. Это возможно, если допустить видоизменение записи независимых коэффициентов модели. Поиск вида зависимостей новых коэффициентов совпадает с задачей второго этапа математического моделирования.

Модель водохранилища [7, 9, 12], описывающая самые общие черты динамики экосистемы, использует схожие по записи уравнения, которые отличаются лишь по химическому элементу азоту и фосфору. Путем принятия гипотезы о постоянстве стехиометрического соотношения между ними стало возможным редуцирование системы дифференциальных уравнений водохранилища в соответствии с теоремой о редукции [6] не математическими средствами.

В итоге видно, что теоретико-групповой подход на этапе создания моделей используется минимально — только в качестве подсказки направления, по которому производится поиск нематематических резервов с целью редукции. То есть модели подвергаются изменениям не из-за каких-то уже существующих особенностей их систем дифференциальных уравнений, а из-за вводимых по тем или иным соображениям ограничений (модель реки), допущений (модель озера) и упрощений (модель водохранилища).

На втором этапе математического моделирования отсутствует традиция обоснования выбора метода решения, для этого нужно исследовать систему дифференциальных уравнений на наличие фундаментальной системы решений, поэтому чаще применяются численные методы. Этот вопрос не имеет отношения к допускаемой группе, но решается также при помощи теории групп [3].

Для модели качества воды в реке вопрос о существовании фундаментальной системы решений решается сразу положительно из условий одноименной теоремы [3]. В системе уравнений используются неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения и для них достаточно использовать готовые методы решения [3, 4, 6]. Связь компонентов модели реки однонаправлена, поэтому простой подстановкой одних определяются другие решения.

В случае исследования уравнений озера по правилам упомянутой теоремы есть две функции от независимой переменной, откуда выводятся два оператора. Результат скобки Ли между ними дает отрицательный результат [1, 2]. С целью нахождения новых независимых коэффициентов решается задача нахождения разрешимой группы для системы уравнений озера. В результате выводятся операторы двух разрешимых групп, при определенных условиях. Отсутствие фундаментальной системы решений в этом случае показывает, что для определенной части решения следует использовать численный расчет. Результат скобки Ли между операторами разрешимых групп указывает на приоритетность использования в первую очередь одной из них по сравнению с другой. Через расчеты инвариантов и замены переменных, необходимых для спрямления зависимых координат, получены расчетные формулы модели озера, в отличие от полностью численного подхода для получения решения.

В случае исследования системы дифференциальных уравнений модели водохранилища выполнение условия теоремы о фундаментальной системе решений приводит к трем функциям зависимым от времени, откуда выводятся три оператора. Вычисление скобки Ли для них, с целью установления их принадлежности трехмерной алгебре Ли, показало, что только для двух операторов вычисление соответствует критерию, а для остальных нет. Это означает, что для уравнений модели водохранилища не существует фундаментальной системы решений. Проверено, что нет полного комплекта разрешимых групп. Сделан вывод о необходимости применения численных методов для решения системы дифференциальных уравнений модели водохранилища.

На втором этапе моделирования для выбора метода получения решения рассматриваемых математических моделей относительно просто использовать критерий о фундаментальной системе решений, но гораздо сложнее найти разрешимые группы. Здесь методы группового анализа несут объективную информацию и приводят к конкретным формульным преобразованиям, необходимым для решения систем дифференциальных уравнений.

Для третьего этапа математического моделирования особенно важным является решение вопроса об идентификации модели. При имитационном моделировании реальных водных экосистем обычно существует дефицит информации о влиянии параметров на поведение решения, необходимой для организации рациональной процедуры оптимизации по заданному критерию.

Точное решение системы дифференциальных уравнений модели реки можно рассматривать в качестве набора параметрических преобразований переводящих одни решения в другие [5]. Они удовлетворяют всем аксиомам для многопараметрических преобразований [3, 4]. Точное решение можно переписать в виде формул, содержащих в качестве множителей при зависимых переменных некие обобщенные коэффициенты, которые зависят от модельных коэффициентов, начального и фиксированного значений независимой переменной, а также имеющих аддитивный обобщенный член. Откуда выделяются модельные коэффициенты, влияющие на растяжение-сжатие и сдвиг решения. Для выявления модельных коэффициентов, которые наиболее влиятельны для сдвига и/или растяжения-сжатия решения используется запись через нулевой и первый члены ряда Ли [10, 11]. Последующее увеличение членов ряда Ли добавляет коэффициенты для сдвига от тех уравнений по цепочке зависимостей, решения которых участвуют в расчете, но только для растяжения-сжатия уже нет данных начиная со второго. По мере увеличения членов ряда Ли зависимости обобщенных коэффициентов стремятся к тем же, что и в точном решении. На практике было достаточно воспользоваться информацией о влиянии отдельных коэффициентов, которая известна от первых двух членов ряда Ли.

Для модели озера все аналогично, но отличие в том, что формулы включают составляющую, требующую численного расчета. Выделены модельные коэффициенты способные сдвигать и растягивать-сжимать решение. Для выявления наиболее влиятельных для сдвига и/или растяжения-сжатия решения использованы нулевой и первый члены ряда Ли [10, 11]. Начиная со следующего члена ряда Ли, зависимости обобщенных коэффициентов становятся такими же, что и в полученном через группы решении.

Для модели водохранилища, несмотря на отсутствие какого-либо решения, как у предыдущих моделей, используя ряд Ли и запись на его основе параметрического преобразования [5] с обобщенными коэффициентами, получена информация о конкретных модельных коэффициентах наиболее влиятельных в смысле сдвига и/или растяжения-сжатия решения. Для этого использовался вывод от предыдущих моделей об информативности первых двух членов ряда Ли. Приближенное решение содержит нелинейный обобщенный член, где невозможно линейно разделить начальные значения некоторых переменных модели друг от друга. При втором порядке ошибки округления для нахождения только примерно половины переменных можно рассмотреть варианты параметрических преобразований, дающие информацию о влиянии модельных коэффициентов на поведение решений. В случае остальных пришлось отбросить аддитивный нелинейный член. Допустимость такого шага объективно подтвердилась критериями Тейла. В итоге выделены модельные коэффициенты наиболее важные для растяжения-сжатия и сдвига решения. Как и в предыдущих моделях начиная с третьего по порядку члена ряда Ли имеем выделение коэффициентов наиболее важных только для сдвига решения.

Решение проблем идентификации, для приведения в соответствие по заданному критерию натурных и расчетных данных, с использованием метода группового анализа позволило глубже проанализировать зависимость уравнений от коэффициентов и получить объективную информацию. С другой стороны результаты анализа можно рассматривать как рекомендацию к действию, если не использовать другие чаще стохастические алгоритмы нахождения коэффициентов. Исполнение же рекомендаций методов группового анализа приводит к конкретным формульным преобразованиям, необходимым для организации более рационального решения задачи идентификации.

Литература:

1. Агейков В.Ю. Методы группового анализа в применении к аналитическим моделям пресноводных экосистем // Ползуновский вестник. – 2002. – № 1 – С. 95-97.

2. Агейков В.Ю. Групповой анализ в этапах математического моделирования гидробиохимической трансформации веществ пресноводных экосистем // Ползуновский вестник. – 2008. – № 3 – С. 314-321.

3. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. – М.: Знание, 1989. – 48 с.

4. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Знание, 1991. – 48 с.

5. Митропольский Ю.А., Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики. – Киев: Наукова думка, 1988. – 271 с.

6. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 639 с.

7. Цхай А.А., Агейков В.Ю. Математическое моделирование экосистемы проектируемого водохранилища // Прилож. компьютера в гидротехнике и охрана водных ресурсов (Варна, 11‑16.09.90) // Тр. межд. шк. – София: БАН, 1990. – С. 428‑439.

8. Цхай А.А. и др. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС “Гидромониторинг” / А.А. Цхай, В.Ю. Агейков, М.И. Евстратов, К.Б. Кошелев, С.М. Шелепов, С.Л. Широкова // Математич. проблемы экологии. – Новосибирск: ИМ СО РАН, 1994. – С. 57-64.

9. Цхай А.А., Агейков В.Ю. Математическое моделирование процессов трансформации соединений азота и фосфора и изменчивости кислородного режима в водохранилище // Водные ресурсы. – 1997. – № 6 – С. 718-728.

10. Rodriguez J. A MAPLE program for the generation of the Lie-series solution of systems of non-linear ordinary differential equations // Computer Physics Communications. – Jan. 1992, Vol. 67, Iss. 3. – PP. 537-542.

11. Pilipchuk V.N., Tan C.A. Non-linear system identification based on Lie series solutions // Mechanical Systems and Signal Processing. – Jan. 2005, Vol. 19, Iss. 1. – PP. 71-86.

12. Tskhai A.A., Ageikov V.Yu. Simulation of nutrient transformation in a reservoir ecosystem // Hydrological, Chemical and Biological Processes of Transformation and Transport of Contaminants in Aquatic Environments. – IAHS Publ., 1994. – № 219. – PP. 303-308.

13. Tskhai A.A. et al. Models for water monitoring and optimization of enterprise water protective activity in present-day conditions / A.A. Tskhai, V.Yu. Ageikov, K.B. Koshelev, M.A. Leites, T.V. Tskhai // International Congress "Water: Ecology and Technology". – Moscow, Sept. 6-9, 1994. – Vol. 4. – PP. 1090-1115.