УДК 517.946

М.П.Ленюк

 

Моделювання процесів дифузії в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра-Фур’є- Лежандра на полярній осі

 

Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого в області

 = {(t, r): t Î (0, ¥), r Î  = (0, R1)  (R1, R2)  (R2, ¥)}

розв’язку сепаратної системи класичних рівнянь дифузії параболічного та L-параболічного типу [1]

                            = f1(t, r), r Î (0, R1),                          

                            = f2(t, r), r Î (R1, R2),                             (1)

                    = f3(t, r), r Î (R2, ¥)       

за початковими умовами

                  uj(t, r)|t = 0 = gj(r), r Î (Rj – 1, Rj), j = , R0 = 0, R3 = ¥,                     (2)

та умовами спряження

                    , j, k = 1, 2.                       (3)

          У рівностях (1) – (3) беруть участь диференціальний оператор Лежандра L­m = d2/dr2 + cth r d/dr + 1/4 – m2/sh2r [2] та диференціальні оператори

              , j, m = 1, 2; k = 1, 2.                 (4)

          Вважатимемо, що виконані умови на коефіцієнти: , aj > 0, mj ³ 0,
cj1, k = , c11, k c21, k > 0, cj2, k =  = 0,  = ,  = ,  º , j, k, m = 1, 2.

          Припустимо, що задані та шукані функції є оригіналами Лапласа щодо змінної t [3]. У зображенні за Лапласом задачі (1) – (3) ставиться у відповідність крайова задача: побудувати обмежений на множині  розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь

                            , r Î (0, R1),                           

                          , r Î (R1, R2),                              (5)

                            , r Î (R2, ¥)                                  

за умовами спряження

, j, k = 1, 2.       (6)

          У рівностях (5), (6) прийняті позначення:

, , p = s + is, i2 = –1;

, , ,

, ,  –

– , j, k = 1, 2.

          Зафіксуємо ту вітку двозначної функції , на якій Reqj > 0 для j = .

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра (Lm – q2)v = 0 утворюють модифіковані приєднані функції Лежандра 1-го роду  та 2-го роду , де n = –1/2 + q [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d2/dr2 – q2)v = 0 утворюють функції v1 = exp(qr)  та v2 = exp(–qr) або їх лінійні комбінації chqr та shqr [4].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати загальний розв’язок крайової задачі методом функцій Коші [4, 5]:

          , n1 = –1/2 + q1,       

                  ,                      (7)

          .

          У рівностях (7)  – функції Коші [4, 5]:

                                                                   

                       .                          (8)

          Тут j1(r) = sh r, j2(r) = 1, j3(r) = sh r.

          Введемо до розгляду функції:

,

,

 

.

          Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

                 (9)

а функція Коші

          (10)

, j = 1, 2, m = 1, 3; n3 = –1/2 + q3.

          Визначимо функції:

 º  = ,

 º  = ,

,

.

          Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

(11)

          Для визначення величин A1, A2 та B2, B3 умови спряження (6) дають неоднорідну алгебраїчну систему із чотирьох рівнянь:

                   ,

               ,

                  ,                   (12)

.

          У системі (12) беруть участь функції:

 + ,

 + .     

          Введемо до розгляду функції:

 – ,

 – ,

 – ,

 – .

          Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової задачі: для p = s + is з Rep = s > s0, де s0 – абсциса збіжності інтегралу Лапласа, та Imp = s Î (–¥, ¥) визначник алгебраїчної системи (12)

                  Dm(p) º  –  =

                     =  –  ¹ 0.                       (13)

          Визначимо головні розв’язки  крайової задачі (5), (6):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ,

, ,

, ,                     (14)

, ,

, ;

2) породжені неоднорідністю системи (5) функції впливу

,

,

,

,                                               (15)

,

,

          У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (12), підстановки одержаних значень A1, A2, B2, B3 у формули (7) після низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (5), (6):

 +  +  +

+  + , j = .         (16)

          Визначимо головні розв’язки параболічної задачі (1) – (4):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

               , m, k = 1, 2, j = ;                 (17)

2) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

                   , j, k = .                    (18)

          Повертаючись в рівностях (16) до оригіналу [3], одержуємо інтегральне зображення єдиного розв’язку параболічної задачі (1) – (3):

  +  +

+  +

+  +

+ , j = ,                    (19)

d+(t) – дельта-функція, зосереджена  в точці t = 0+ [5].

          Особливими точками функцій Гріна (p, r) та функцій впливу  є точки розгалуження p = –, p = –, p =  – та точка розгалуження p = ¥. Оскільки gj > 0, то всі особливі точки знаходяться на лівій піввісі Rep = s Î (–¥, 0). Це дає можливість „сісти на уявну вісь” й одержати такі структури головних розв’язків даної задачі:

              , m, k = 1, 2, j = ,                (20)

                  , j, k = .                    (21)

          Тут  Re(...) означає дійсну частину виразу (...).

          Зауваження 1. Можна вважати, що ykm = 0. В протилежному випадку переходимо до нових початкових умов

(r) = g1(r) – b1, (r) = g2(r) – (a2r + b2), (r) = g3(r) – b3

й вибираємо числа a2 та bj із алгебраїчної системи

          aj()+bj – [aj+1 () + bj+1] = yjk, j, k = 1, 2.       (22)

          Тут a1 = 0, a3 = 0. При виконанні умов на коефіцієнти алгебраїчна система (22) завжди сумісна.

          Зауваження 2. Вибором параметрів, які беруть участь у формулюванні даної задачі дифузії, можна виділити із загальних структур безпосередньо в рамках даної моделі будь-який частковий (практично важливий) випадок.

 

Література

1.     Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

2.     Ленюк М.П., Шинкарик Н.И. Гибридные интегральные преобразования Лежандра. – Львов, 1989. – 60 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т прикл. проблем механики и математики).

3.     Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

4.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

5.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.