Технические науки/2. Механика
К.т.н. Касымханов С. Ж., д.т.н. Бакиров
Ж. Б.
Восточно-Казахстанский государственный
технический университет,
Карагандинский государственный
технический университет,
Республика Казахстан
Математическая модель
и методика расчета уплотнения
формовочной смеси
В настоящее время большую часть отливок
получают в разовых песчаных формах. От качества формы зависит точность и
состояние поверхности отливки. Качество формы зависит от состава смеси, ее
плотности и распределения плотности по высоте опоки. С увеличением плотности
возрастают прочность и чистота поверхности отливки, уменьшается
газопроницаемость и склонность формы к размыву. Анализ процесса уплотнения
формовочной смеси необходимо не только для управления качеством отливок, но и
для создания высокопроизводительного и надежного оборудования путем управления
количеством, продолжительностью и мощностью импульсов.
Особенностью
динамического нагружения является то, что сжимающие напряжения достигают
значительной величины, но действуют кратковременно. При этом смесь не успевает
уплотниться, и нужны повторные нагружения, следовательно, плотность смеси
зависит не только он величины напряжений, но и от времени их действия. Это
говорит о том, что для анализа процесса уплотнения при динамических нагрузках
необходимо учитывать вязкость среды.
В настоящее
время получен ряд экспериментальных зависимостей для расчета плотности при
различных видах динамического нагружения: ударное, прессово-ударное,
встряхивание, импульсное, гравитационное и т.д. Однако они применимы только для
специфических условий нагружения и для отдельных грунтов и ПГС. Для получения
аналитических зависимостей необходимо исследовать процесс уплотнения на основе
реологической модели, наиболее адекватно описывающей основные свойства среды:
упругость, вязкость и пластичность. Наиболее распространенной в этом плане
является полуэмпирическая формула, полученная Г.М.Орловым на основе
трехэлементной модели путем игнорирования упругих деформаций [1].
На основе
анализа многочисленных экспериментов в данной работе в основу расчета плотности
формовочной смеси при динамическом нагружении принята пятиэлементная
реологическая модель, показанная на рисунке 1.
Рисунок 1. Реологическая
модель среды
Первый элемент
модели (пружина 1 с модулем упругости Е1) учитывает способность
среды мгновенно получать упругие деформации. Параллельно соединенные пружина 2
и демпфер 1 с коэффициентом вязкости отражают упруговязкие
свойства среды, приводящие к упругому последействию. Последняя часть модели,
состоящая из демпфера 2 и пластического тела Сен-Венана, отображает вязкопластические
свойства среды и включается в работу только при напряжении, превосходящем
предел текучести материала . Чтобы учесть тот непреложный факт, что среда может
уплотняться только при возрастании напряжения, мы должны считать предел
прочности зависящим от текущей плотности среды, что ранее обнаружено в ходе
экспериментов и описано эмпирическими зависимостями.
Запишем уравнения состояния
среды согласно представленной модели:
; (1)
. (2)
где – деформации пружин; – суммарные напряжения и деформации.
Определим связь
между напряжением и деформацией для первой части модели, состоящей из двух
пружин и демпфера 1. Из второго соотношения уравнений (1) при граничных
условиях , получаем
Учитывая, что из первого
соотношения получаем
, (3)
где , а Ес статический модуль упругости.
Определим связь
между деформацией и плотностью смеси. Пусть при приложении нагрузки образец,
имеющий начальную длину l0 сжался, и его длина стала l .
Относительное сжатие части образца длиной х будет равно dx/x,
где dx –
абсолютное сжатие рассматриваемой части. Тогда полная относительная деформация
равна сумме относительных сжатий отдельных участков:
.
Отсюда следует dε
= – dl/l.
Далее
учтем, что , где – масса, плотность и площадь сечения образца. Подставив l и dl в
предыдущее соотношение, получим:
. (4)
Решая это уравнение, находим
, где – начальная плотность среды (при ). Теперь с учетом выражения (3) имеем:
(5)
При напряжениях превышающих
предел текучести из уравнения (2) следует:
, (6)
где – деформация соответствующая пределу текучести и определяемая по формуле
(3); пластическая
деформация; – разность между текущим моментов и началом пластического течения.
Далее из уравнения (2) с
учетом (4) можно записать: .
Решая этой уравнение,
получим:
(7)
где – плотность при
напряжении и определяемая по
формуле (5).
Так как предел
текучести зависит от плотности, которая в свою очередь зависит от текущего
значения напряжения, то расчет изменения плотности во времени приходится вести
шаговым методом. Тогда в формуле (7) , можно заменить на
напряжение и плотность в предыдущий момент времени, а за принять шаг по
времени.
Рассматриваемый
этап вязкопластического уплотнения продолжается до тех пор, пока растет
пластическая деформация; далее начинается процесс разгрузки. Поэтому при
расчете плотности необходимо зафиксировать напряжение и максимальные значения
плотности и деформации перед разгрузкой:
Процесс разгрузки происходит
по закону Гука:
С учетом условия
при и выражений (4) и
(8), находим:
(8)
Этот процесс продолжается до
тех пор пока напряжение не станет равным нулю.
Многочисленные эксперименты разных авторов
показывали, что физико-механические свойства смеси зависят не только от состава
и влажности, но и от её плотности. Обработка экспериментальных данных позволяет
получить зависимость реологических параметров от плотности. Так как при
встряхивании напряжение и плотность смеси меняется по высоте опоки, то для
расчета плотности необходима дискредитация не только по времени, но и по высоте
слоя.
Изложим теперь методику послойного расчета
плотности формовочной смеси при встряхивании. При ударе стола о станину с
некоторой начальной скоростью стол и опока со
смесью резко тормозятся и во всех слоях смеси возникают инерционные силы,
вызывающие сжимающие напряжения. Если пользоваться контактно-классической
теорией удара, то скорость стола можно определить по формуле:
(9)
где – коэффициент
затухания колебаний; – частота колебаний;
При этом продолжительность удара определяется по
формуле:
Под действием сжимающих напряжений
происходит уплотнение смеси по всей высоте опоки до максимального значения . При этом толщины всех слоёв уменьшаются и каждое сечение
движется в низ с определёнными скоростями и ускорениями. Разобьём высоту
опоки Н на k –
1 слоев.
Масса любого слоя при уплотнении не
изменяется, поэтому толщину j- го слоя в i -
ый момент времени можно определить по формуле:
(10)
Расстояние от верхней границы j - го слоя до начала координат равно:
(11)
Абсолютные значения скорости и ускорения верхней
границы слоя равны:
(12)
где – шаг по времени.
При расчёте сверху вниз надо задаться скоростью
верхнего слоя, например,
Правильность выбора скорости контролируется по нижней
грани условием:
(13)
где – допустимая
погрешность по скорости.
При этом координата верхней грани определяется так:
(14)
Скорость изменения напряжений в сечениях
определяется выражением [1]
(15)
где Р, А – периметр и площадь опоки;
ξ – коэффициент бокового давления;
f –
коэффициент трения смеси о стенку опоки.
Тогда напряжения в слоях будут равны:
(16)
Приведём последовательность (блок-схему)
послойного расчета уплотнения формовочной смеси с использованием персональных
компьютеров.
1.Задание и распечатка исходных данных:
2.Задание начальных условий:
где – пластические деформации в сечениях.
3. Организация цикла по времени:
4. Вычисление скорости стола по формуле
5. Задание условий на поверхности смеси:
6. Вычисление координаты верхней грани по (14)
7. Организация цикла по слоям: .
8. Вычисление параметров реологической модели в слоях
по эмпирическим формулам в зависимости от плотности слоя
9. Вычисление плотности смеси в сечениях – формулы (5,7,8).
10. Вычисление толщин слоев, координат, скоростей и
ускорений сечений по формулам (1012):
11. Вычисление напряжений в сечениях по формулам (15)
и (16) –
12. Конец цикла по слоям:
13. Проверка условия (13). Если оно выполнено, то
продолжить расчеты, если нет, то
изменить скорость и повторить послойный
расчет с пункта 6.
14. Конец цикла по времени:
15. Распечатка расчетных параметров: и т.д.
По приведенной блок-схеме составлена
программа расчетов на языке Паскаль и проведен расчет плотности
песчано-глинистой смеси влажности 3,2 % и сырой прочности 0,07 МПа с начальной
плотностью = 1000 кг/м при = 1 м/с и размерах
опоки 400×300×200 мм. Характеристики механической системы соответствуют
встряхивающей машине модели 271:
Смесь
разбивалась на 10 слоев. Результаты расчетов для первого удара приведены на
рисунке 2. Кривая 1 соответствует нижнему сечению, а кривая 2 – седьмому сечению.
Чем ниже расположено сечение, тем выше интенсивность роста плотности. Интенсивность
роста плотности сильно зависит от первоначальной плотности. Так при = 1500 кг/м она на ладе составляет всего 1 % в отличие от 8,5 % на
графике.
При увеличении числа ударов плотность
сначала быстро возрастает, затем рост замедляется, а после определенного числа
ударов вовсе прекращается. График изменения плотности на ладе (в нижнем
сечении) от количества ударов показан на рисунке 3.
Литература:
1. Орлов Г.М. Автоматизация и механизация процесса
изготовления литейных форм. – М.: Машиностроение, 1988. – 264 с.