Дифференциал функции многих переменных

Муратбекова М.А., Абдураимова И.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменным в этой точке приращения . Тогда функция получит (полное) приращение

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют числа A₁, A₂, ... ,A_n такие, что

(1)

при , где .

Если имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, то она дифференцируема, причём , , . . . , .

Линейная часть приращения функции называется дифференциалом (первого порядка) функции и обозначается

или просто

.

Если являются независимыми переменными (т.е. не зависят от других переменных), то полагают дифференциалы этих переменных равными их приращениям: . С учётом этого, а также того, что, получаем

.

В частности, для функции двух переменных

.

Для дифференциала функции многих переменных справедливы те же правила, что и для функции одного переменного: , , .

Дифференциал от первого дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается : . Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков: , и т.д.

Если все частные производные функции до m-го порядка включительно непрерывны, а являются независимыми переменными, то дифференциал m-го порядка выражается символической формулой

.

При этом выражение в скобках раскрывается по формуле бинома Ньютона, а затем перед множителями над чертой дописывается буква u. Например, для функции двух переменных

,

.

Для функции трёх переменных

Следует иметь в виду, что под понимаются квадраты дифференциалов, а не дифференциалы квадратов: , , .

Литература

1. Рудин У. Основы математического анализа. М., Мир, 1986.

2. Пискунов М.А. Дифференциальное и интегральное исчисление. Мир., М.,1968.