ФИЗИКА/ 2.Физика твердого тела.

Ильюшин Ю. В.

Пятигорский государственный гуманитарно-технологический университет, Россия

Математическая модель пространственно одномерного объекта управления с дискретно расположенными импульсными нагревательными элементами

В качестве простейшего объекта управления рассмотрим цилиндрический стержень радиуса R, длиной L и температуропроводностью материала a (см. рис.2.). Нагревающим воздействием будем считать тепловой поток, создаваемый секционным нагревателем , распределенным по боковой поверхности цилиндра.

Система управления данным объектом будет выглядеть следующим образом:

Объект

Регулятор

Задающее устр–во

Рис. 1. Структурная схема замкнутой системы регулирования.

Наблюдение за температурой, будем осуществлять с помощью датчиков, условно будем считать, что они находятся на том же поперечном срезе, что и нагревательный элемент. Включение нагревательных источников осуществляется с помощью релейных элементов. На концах стержня поддерживается нулевая температура.[1]

Рис.2. Объект управления - цилиндрический стержень.

Рассмотрим представленный на рис.2. объект управления и составим математическую модель процесса распространения тепла.

;

;

.

; (1)

; ;

Где T(x,r,t) - температурное поле объекта управления; a - заданный коэффициент температуропроводности материала объекта управления; R, L - заданные числа; пространственные координаты объекта управления; время. Функцией выхода для данной математической модели будет функция , где заданное число из диапазона .

Из граничных условий видно, что границы объекта имеют нулевую температуру, входное воздействие распространено по границе стержня и выполняется условие симметрии тепловых полей. [2]

Предположим, что стержень пренебрежимо тонкий. Тогда в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения цилиндра можно считать одинаковой. Тогда, будем считать объект управления пространственно одномерным. Тогда распределение теплового потока по цилиндру можно подсчитать по функции Грина, представляющего собой бесконечный ряд Фурье.

₍₂₎

Где n – количество членов ряда Фурье; l – длина стержня; t – время; x – точка (координата по оси Х) расположения датчика температуры; – точка (координата по оси Х) расположения нагревательного элемента; – момент включения точечного источника. Формула 2. показывает значение температурного поля в любой точке стержня в любой момент времени. Однако для исследования температурного поля с течением времени необходимо получить функцию начального нагрева, так как значение температуры есть сумма значения функции Грина в текущий момент времени и функции начального нагрева. [3,4,5,6,7,8] График значений температурного поля в начальный момент времени можно наблюдать на рис. 3.

Рис. 3. Значения температурного поля.

Таким образом, для анализа теплового поля необходимо применять формулу, учитывающую функцию начального нагрева:

; (3)

Таким образом, формула 3. показывает поведение теплового поля с учетом времени работы системы.

Используя данную функцию можно решать задачи измерения температурных полей на пространственно распределенных объектах.

Список литературы

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 736 с.

2.Чернышев А.Б. Исследование нелинейных распределённых систем управления температурными полями. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Спец. выпуск Математическое моделирование и компьютерные технологии. – Новочеркасск, 2004. – С. 57-60.

3. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. – Пятигорск: Изд-во РИА-КМВ, 2007. – 244 с.

4. Ильюшин Ю. В. Стабилизация температурного поля туннельных печей конвейерного типа. Научно технические ведомости СПбГПУ. -2011.-№ 3(126). С 67-72.

5. Чернышев А.Б. Ильюшин Ю.В. Определение шага дискретизации для расчета теплового поля трехмерного объекта управления // Изв. Южного федерального университета № 6.-Таганрог, 2011. С 192-200.

6. Чернышев А.Б. Ильюшин Ю.В. Устойчивость распределенных систем с дискретными управляющими воздействиями // Изв. Южного федерального университета № 12. - Таганрог, 2010. С 166-171.

7. Душин С.Е., Зотов Н.С., Имаев Д.Х. и др. Теория автоматического управления. //Под ред. В.Б. Яковлева. – М.: Высшая школа, 2003. – 567 с.

8. Чернышев А.Б., Антонов В.Ф., Шураков Д.Л. Система стабилизации температурного поля в процессе утилизации тепла при контактной сварке.// Научно-технические ведомости СПбГПУ. – 2010. – № 6(113). – С. 151-155.