Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравне­ния                                

 

 Ахмедиев С.К., Иманбаева Л.Х., Ганюков А. А., Безкоровайный П.Г.

 

Карагандинский государственный технический университет, Казахстан

 

     Контактная задача о жестком штампе

 

Получено численное решение  задачи о вдавливании в полуплоскость жесткого прямоугольного штампа на основе обобщения задачи Фламана для плоской деформации. В расчетной модели может рассматриваться  более одного штампа, при этом определяются контактные давления под каждым рассматриваемым штампом, а также компоненты смещений и тензора напряжений во вдавливаемой полуплоскости от совместного действия всех штампов. Граничные условия для вдавливаемого жесткого штампа имеют следующий вид [1]:   

              (1)  

Под штампом   контактные напряжения  не известны. Они определяются из интегрального уравнения [1]:       

                                                                                (2)

Решение уравнения (2) имеет следующий вид [2]:

                                                               (3)

Смещение  границы полуплоскости [2]:

                                      

                                           (4)

В случае действия на границе многих штампов, получим систему интегральных уравнений[3], в которой количество уравнений будет определяться количеством вдавливаемых штампов. Аналитическое решение такой системы в общем виде представляет математические трудности. Однако решение задачи со многими штампами  можно получить на основе  задачи Фламана, о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство в условиях плоской деформации[1]. Обобщением задачи Фламана с помощью известного принципа суперпозиции, получается решение задачи о действии равномерно распределенной (или произвольно распределенной) нагрузки на границе бесконечной полуплоскости. Используя это фундаментальное решение, была построена численная процедура для нахождения контактных напряжений под штампами, а так же смещений и напряжений в полуплоскости, при этом граничные условия (1) задаются под каждым заданным штампом. Контактные напряжения под штампами, а также напряжения во вдавливаемой полуплоскости, получаемые данной методикой, имеют хорошую сходимость с  аналитическими расчетами других авторов [2],[4].

Отличительной чертой применения этого алгоритма является вычисление граничных смещений  полуплоскости от вдавливания многих штампов. Из выражения (4) можно определить, что смещения границы  на расстоянии  обращаются в нуль, а при  – стремятся к бесконечности из-за присутствия логарифмической функции.

При получении суммарных смещений  на границы упругой среды от совместного вдавливания многих штампов в предложенном выше методе производится суммирование граничных смещений получаемых от каждого штампа.  На четвертом графике рис. 2 показана зависимость, иллюстрирующая суммарные смещения от влияния трех штампов. Из этого графика видно, что из-за неограниченности смещений  от каждого штампа на бесконечности,  суммирование приводит к результату, не удовлетворяющему начальным условиям (1) постоянства вертикальных смещений под каждым штампом. Из-за этого возникает трудность вычисления реальных смещений в контактных задачах со многими штампами. Многие авторы [3],[4] и др., в своих работах акцентируют  внимание в основном на методах получения контактных напряжений, а вопросы, связанные с вычислениями смещений во вдавливаемых областях обходят стороной. Данным сообщением мы показываем, что вопрос о нахождении смещений в задачах со многими штампами остается открытым и подлежит исследованию.

 

 

 

 Литература

1.    Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. – М.: Мир, 1987.

2.    Галин Л.А.Контактные задачи теории упругости. - Гостехиздат, Москва,1953.

3.    Снеддон И. Н. Преобразование Фурье. – М.: ИЛ, 1955. 

4.    Цытович Н.А. Механика грунтов. – М.: «Высшая Школа», 1982.