Панченко Р.Н.
Национальный технический университет Украины «КПИ»
О ДИНАМИКЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ
Экспериментальные и теоретические исследования
последних лет существенно расширили и вывели на качественно новый уровень
представления о характере и природе рассеяния энергии звукового поля в
механических системах. Вместе с тем остается много нерешенных проблем
качественной и количественной оценки взаимодействия избыточного давления с
бортовой аппаратурой. Ряд комплектующих элементов бортовой аппаратуры летательных
аппаратов изготовляют в виде идеально гибких, постоянной толщины пластин
(прямоугольных или круглых), однако сильно и равномерно растянутых во всех
направлениях, так что можно пренебречь малыми изменениями этих усилий,
вызванных их прогибами при колебаниях. Такие элементы называют мембранами.
Рассмотрим прямоугольную мембрану со сторонами и
.
Независимо от вида функции в пределах прямоугольной
области ее всегда можно представить в виде двойного ряда
,
где ,
– числа полуволн
изгиба в направлении оси
и
соответственно.
Каждый член ряда удовлетворяет граничным условиям –
.
Вынужденные колебания мембраны описываются
дифференциальными уравнениями вида:
,
где – обобщенная сила,
определяемая из формулы для виртуальной работы
волны избыточного
давления
на виртуальном перемещении
;
,
– числа полуволн
избыточного давления
в направлении осей
и
;
– равномерно
приложенное растягивающее усилие;
– удельная масса
материала мембраны;
– ускорение
свободного падения.
Пусть
,
где – амплитуда
избыточного давления;
– круговая частота
падающей волны;
– волновое число;
– скорость звука в
воздухе;
– угол падения
плоской волны на лицевую поверхность мембраны;
– толщина мембраны;
,
– координаты точки поверхности.
Тогда,
и
,
где ,
– постоянные
коэффициенты.
Если при мембрана находилась в
покое, то внезапное воздействие
, прикладываемое равномерно ко всей поверхности, приводит к динамическим
прогибам вида
,
где ,
- нечетные числа,
- квадрат круговой
частоты изгибных колебаний
-й формы.
В том случае, когда граница мембраны несколько отличается
от круговой, частота низшей формы колебаний мембраны примерно равна частоте
круговой мембраны, имеющей ту же площадь и то же значение величины . В общем случае для определения частоты основной формы колебаний
мембраны можно принять в виде
,
где – площадь мембраны. Если же мембрана закреплена не только по
граничной окружности, аналитическое исследование динамики возмущенного движения
при волновом воздействии представляет значительные математические трудности. В
настоящее время получено решение только для случая эллиптической границы.
Воспользовавшись методикой [1] получим закон изгибного
движения мембраны под действием избыточного давления –
.
Анализ этого выражения показывает, что узловые диаметры мембраны находятся на линиях и
.
Примем для конкретности ,
(
- радиус мембраны). В этом случае для низшей формы имеем
.
Откуда, в общем случае получаем возможность установить
точки мембраны, где имеет место суперпозиция нескольких форм колебаний –
.
На линиях и
определяем узловые
диаметры мембраны.
Интересно отметить, что кроме узловых диаметров,
мембрана может иметь и узловые окружности, на которых величины прогибов .
Исследовав закон изгибных колебаний на экстремум, можно
установить также линии пучностей , где прогибы мембраны достигают своих максимальных
значений –
;
.
Литература:
1. Мельник В.М., Карачун В.В. Шуми і вібрація. Збурюючі чинники та
їх характеристики.Навч. посібник. –К.: Техніка, 2008. -352 с.