Волкова Н.І.

Дніпропетровський національний університет ім. О.Гончара

Абсолютна сумовність ряду Фур’є методом Вороного - Нерлунда

Послідовність де

, , ,

де задана послідовність дійсних або комплексних чисел, називається перетворенням Вороного – Нерлунда, або - перетворенням ряду Ряд називається абсолютно сумовним методом Вороного – Нерлунда, або - сумовним на множині , якщо

Нехай - - періодична функція, інтегровна за Лебегом на Не порушуючи загальності, будемо припускати, що сталий член ряду Фур’є дорівнює нулеві, тоді

Введемо наступні позначення:

Теорема. Якщо а послідовність - додатня, монотонно неспадна така, що а тоді ряд Фур’є функції при сумовний.

Для доведення теореми використаємо наступні леми.

Лема 1. Якщо - задана функція від n, k і t, тоді

Доведення. Розглянемо

=

Лема 2[1]. Рівномірно по t,

де m і n – додатні цілі числа, такі що

Лема 3[2]. Якщо монотонно неспадна додатня послідовність така, що тоді рівномірно для

Лема 4.Для додатної послідовності

Доведення леми очевидно, оскільки а монотонна.

Доведення теореми. Відомо [2], що для доведення теореми достатньо показати, що рівномірно для

Розглянемо

.

в силу леми 3.

.

Використовуючи лему 1,

в силу леми 4 та умови

В силу леми 1, леми Абеля, леми 2 і оскільки монотонно неспадна, маємо

Змінюючи порядок сумування, використовуючи лему 4 і умови теореми, маємо

Теорема доведена.

Література

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М, Наука, 1969, т. II.

2. Pati. On the absolute Norlund summability of a Fourier series//Jour. London Math. Soc.,34, 153–160, 1959.