Марзан С.А.
Брестский государственный университет
имени А.С. Пушкина
Системы нелинейных дифференциальных
уравнений с дробной производной Капуто в пространстве
непрерывно-дифференцируемых функций
В связи с приложениями в теории
интегральных и дифференциальных уравнений важной задачей является изучение
свойств операторов дробного интегрирования и дифференцирования в различных функциональных
пространствах. Достаточно полно разработаны такие вопросы для операторов
дробного интегро-дифференцирования в классе интегрируемых функций [1, § 2] и весовом пространстве непрерывных функций
[2], [3]. С использованием
этих результатов, в работах [4]-[5] были исследованы краевые задачи для
нелинейных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля в
пространстве
, а в работах [2], [3] – в пространстве
.
Настоящая
работа посвящена исследованию задачи Коши для системы нелинейных
дифференциальных уравнений с дробными производными Капуто [6] в банаховом пространстве
вида
, (1)
,
,
.
Обозначим
через модифицированную
дробную производную, определяемую формулой
, (2)
где – дробная производная
Римана-Лиувилля [1] функции
, заданной на
, комплексного порядка
(
),
,
при
, и
при
.
Исследуем задачу Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка
,
,
,
), (3)
с начальными условиями
(4)
в банаховом пространстве (1). Исследования основаны на равносильности задачи (3)-(4) и соответствующей системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода
, (5)
и применении теоремы Банаха [7] для доказательства существования и единственности решения задачи Коши (3)-(4).
Теорема 1. Пусть ,
(
,
),
,
. Пусть функции
действуют из
в R и таковы, что при
любых
и
. (6)
Для
того, чтобы функции
являлись решением задачи Коши (3)-(4), необходимо и
достаточно, чтобы они являлись решением системы интегральных уравнений (5).
Доказательство теоремы проводится с использованием свойств дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля [1].
Теорема 2. Пусть
,
, (
,
),
. Пусть функции
действуют из
в R и таковы, что
выполняются условия теоремы 1 и
.
Тогда существует
единственное решение задачи Коши (3)-(4) в пространстве
.
Литература:
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И.
Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск:
Наука и техника, 1987. – 687 с.
2. Килбас А.А., Бонилла Б., Трухилло Х.
Дробные интегралы и производные, дифференциальные уравнения дробного порядка в
весовых пространствах непрерывныхфункций // Доклады Нац. акад. наук Беларуси. –
2000. – Т. 44, № 6. – С. 18-22.
3. Kilbas
A.A., Rivero M., Trujillo J.J. Existence and uniqueness
theorems for differential equations of fractional order in weighted spaces of
continuous functions // Fract. Calc. Appl. Anal. – 2003. – Vol. 6, № 4. – P.
363-399.
4. Kilbas
A.A., Bonilla B., Trujillo J.J. Existence and uniqueness theorems for nonlinear
fractional differential equations // Demonstratio Math. – 2000. – Vol. 33, № 3.
– P. 583-602.
5. Килбас А.А., Бонилла Б., Трухилло Х.
Нелинейные дифференциальные уравнения дробного порядка в пространстве
интегрируемых функций // Доклады академии наук. – 2000. – Т. 374, № 4. – С.
445-449.
6. Caputo
M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent // Geophis.
J. Astronom. Soc. – 1967. – Vol. 13. – P. 529-539.
7. Антоневич А.Б., Радыно Я.В.
Функциональный анализ и интегральные уравнения. – Минск: БГУ, 2003. – 430 с.