Математика
Лавріненко Н.М., Хомічук В.А., Бескровний О.І.
Доннецький Національний
університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського
Статистична модель процесу аерування
жирової маси у пластифікаторі ВВ-ПМЛ
У статті досліджено процеси перемішування жирових
мас у пластифікаторі ВВ-ПМЛ. Обгрунтовано вибір раціональних режимів аерування
за допомогою математичної моделі процесу
змішування у двоваловому лопатевому змішувачі.
Ключові слова: аерування, пластифікатор,
змішувач, жирова маса, математична модель.
Українські
кондитерські підприємства виробили у 2007 році понад 1,1 млн. тонн
продукції, що за обсягом становить більше 3% ВВП країни [1]. Сегмент борошняних кондитерських виробів займає
близько 40% усього обсягу продукції, а практично всі вони у середньому на
третину складаються з жирової сировини. Останнім часом в якості заміни
стандартної жирової сировини – маргарину – використовуються суміші на основі
пальмового, пальмоядрового і ріпакового масел. Ці рослинні жири потребують
попередньої підготовки для використання у відповідному технологічному процесі.
Одне з
головних завдань – інтенсифікація процесу підготовки жирової маси шляхом
одночасної дії на неї різних фізико-хімічних факторів. Саме такі процеси відбуваються у розробленому нами пластифікаторі
ВВ-ПМЛ [2,3]. Ця
установка поєднує механічний і тепловий вплив на жирову масу, що дозволяє
виконувати такі операції, як подрібнення, змішування, диспергування,
гомогенізацію, емульгування, аерування і темперування. При цьому продукт зазнає
комплексного механічного впливу, тобто силового контакту робочих елементів
установки; гідродинамічного впливу, який створює статичні і динамічні напруги,
градієнти і пульсації швидкості і тиску. До того ж наявність у робочій ємності
повітря забезпечує можливість часткового аерування, тобто отримання
монодисперсної збитої консистенції жирової маси. Крім того, важливою перевагою
пластифікатора ВВ-ПМЛ над іншим обладнанням є можливість завантаження твердих
жирів без попереднього розтоплювання.
Одним з
найважливіших напрямів розвитку і вдосконалення технологічних процесів є побудова
таких математичних моделей, які б дозволили прогнозувати якість готового
продукту, виходячи з геометричних, кінематичних і термодинамічних параметрів
робочих органів обладнання. Але складність явищ, які відбуваються у змішувачі,
утруднює математичний опис залежності розподілу елементів емульсії від
фізико-механічних властивостей обладнання та його технологічних і
конструктивних факторів. Суперечливість результатів різних дослідників [4] пояснюється
тим, що застосування традиційного методу дослідження при вивченні
багатофакторного процесу змішування не
дозволяє точно вибрати оптимальний рівень факторів, так як невідомі ступінь і
характер їх взаємодії.
Метою статті
є обгрунтування результатів експериментальних досліджень процесу аерування
жирової суміші за допомогою статистичних методів.
Для
визначення якості перемішування знаходились відносні концентрації повітряної
компоненти 
в 
довільно вибраних
точках змішувача при 
паралельних
випробуваннях ( 
– номер точки, у якій
досліджується процес, 
, 
– номер випробування, 
). Диференціальне
рівняння для вибірки із 
проб, взятих в 
довільно вибраних
точках змішувача при 
паралельних
випробуваннях у кожній точці має вигляд:
(1)
де 
– коефіцієнт
швидкості змішування; 
– математичне
сподівання концентрації повітряної компоненти; 
– дисперсії, які
характеризують незавершеність процесу змішування.
Перейдемо від
концентрації повітряної компоненти до її вибіркової дисперсії, яка характеризує
якість аерування жирової маси та запишемо відповідне диференціальне рівняння. Знайдемо
суму рівнянь (1) по 
точках і 
випробуваннях і
отримане рівняння розділимо на 
. В результаті одержимо
. (2)
В правій
частині рівняння (2) величина 
представляє собою усереднену по 
точках і 
випробуваннях
дисперсію концентрації повітряної компоненти у жировій масі. Перетворимо величину
, що стоїть у лівій частині рівняння , для чого піднесемо її до
квадрату. Відхилення концентрації від її математичного сподівання 
є незалежними
центрованими випадковими величинами, тому подвійні суми парних добутків
центрованих випадкових величин 
дорівнюють нулю. Тоді
, (3)
де 
– вибіркова дисперсія
концентрації повітряної компоненти жирової маси.
Вираз 
представляє собою
усереднену дисперсію, яка характеризує ступінь незавершеності процесу
змішування, що за фізичним змістом є дисперсією сегрегації 
. Після перетворень рівняння (2) має вигляд
. (4)
На рисунку 1
наведено кінетичну криву процесу змішування, яка характеризує змінення
дисперсії концентрації 
за часом.
Рисунок 1 –
Кінетична крива для процесу змішування
При достатньо
великих значеннях часу 
досягається гранична
якість суміші 
, коли процес аерування знаходиться у динамічній рівновазі.
Припустимо,
що між дисперсією процесу розподілення і сегрегації існує лінійний зв'язок,
який визначається співвідношенням
, (5)
де 
– початкова дисперсія
концентрації повітряної компоненти при 
; 
– коефіцієнт
пропорційності; 
– початкова дисперсія
сегрегації при 
.
На практиці при
дослідженні процесів змішування використовують дисперсію, нормовану відносно початкової
дисперсії 
, яка у нашому випадку розраховується за формулою 
, де 
– концентрація повітряної
компоненти.
Тоді граничні
умови мають вид: при 
, а при 
.
З формули (5)
випливає, що
. (6)
Так як при 
, то з рівняння (6) знаходимо коефіцієнт пропорційності 
. (7)
Враховуючи
(6), перепишемо рівняння (4) у виді, зручному для інтегрування
. (8)
В результаті
інтегрування рівняння (8), отримаємо
. (9)
Визначимо
постійну інтегрування 
з початкової умови 
:
. (10)
З урахуванням
(10) рівняння (9) запишеться у вигляді
. (11)
Підставимо
вираз (7) для коефіцієнта пропорційності 
у рівняння (11) і
одержимо
. (12)
Розв’яжемо
рівняння (12) відносно 
. В результаті отримали залежність вибіркової дисперсії
концентрації повітряної компоненти жирової маси від часу
, (13)
яка задовольняє початковим умовам
та 
.
Формула (13)
представляє собою математичну модель процесу аерації у лопатевому змішувачі
пластифікатора ВВ-ПМЛ, який визначається константою швидкості змішування 
і граничною (рівноважною)
дисперсією концентрації повітряної компоненти у жировій масі 
.
Параметри
математичної моделі 
і 
залежать від режиму
роботи і конструктивних особливостей змішувача і визначаються експериментально
на етапі ідентифікації параметрів і перевірки адекватності математичної моделі.
Для ідентифікації і перевірки математичної моделі (13) була поставлена серія
паралельних дослідів по перемішуванню жирових мас у двохваловому шнеколопатевому
змішувачі пластифікатора ВВ-ПМЛ.
Жирові блоки
завантажували у бункер і починали пластифікувати з одночасною аерацією за
заданою програмою. Через задані проміжки часу пластифікатор зупиняли і з об'єму
суміші у рівномірно розташованих десяти точках (
) відбирали проби у п’ятикратній повторності (
). Проби відбирали точковим способом пробовідбірником за ГОСТ
13496.0-80. Далі їх зважували на електронних терезах ВСЛ-200/1 та розраховували
відносні концентрації повітряної компоненти в окремих точках, величини відхилення
концентрації та ступінь рівномірності розподілення компоненти.
Проби
відбирали через різні проміжки часу. Враховуючи експоненціальний вид кінетичних
кривих, у початковому періоді проби відбирали через менші проміжки часу, у
кінцевому – через більші. Проби відбирали у моменти часу 60с, 120с, 180с, 240с,
360с для маргарину і 60с, 180с, 300с,
480с, 660с для пальмового жиру, що зумовлено режимом роботи пластифікатора і
фізико-хімічними характеристиками жирової маси. Об’ємне завантаження змішувача
в усіх дослідах складало 0,06 м3, кутова швидкість обертання валів –
0,49 с-1, константа змішування 
, концентрації повітряної компоненти 
.
По отриманим
експериментальним значенням концентрацій повітряної компоненти жирової маси
оцінювали значення вибіркових дисперсій за формулою
, (14)
де 
– експериментальне
значення концентрації повітря в 
- й пробі, яка взята
в 
- й точці відбору; 
– середнє значення
концентрації.
Отримані
експериментальні дані концентрації повітря наведено в таблиці.
Таблиця 1 – Статистична
обробка екпериментальних даних
|
Жиро-ва маса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-3 |
Мар-гарин |
60 |
0,1396 |
0,0729 |
0,2562 |
0,1162 |
0,0921 |
0,538 |
0,691 |
0,1439 |
|
120 |
0,0191 |
0,0254 |
0,0390 |
0,0273 |
0,0185 |
0,468 |
0,0233 |
|||
|
180 |
0,0050 |
0,0169 |
0,0027 |
0,0042 |
0,0128 |
0,689 |
0,0091 |
|||
|
240 |
0,0014 |
0,0009 |
0,0018 |
0,0013 |
0,0010 |
0,443 |
0,0013 |
|||
|
360 |
0,0005 |
0,0006 |
0,0015 |
0,0004 |
0,0007 |
0,583 |
0,0008 |
|||
|
4-6 |
Паль-мовий жир |
60 |
0,2631 |
0,1421 |
0,0731 |
0,2232 |
0,1528 |
0,553 |
0,691 |
0,1467 |
|
180 |
0,0380 |
0,0245 |
0,0202 |
0,0345 |
0,0268 |
0,459 |
0,0246 |
|||
|
300 |
0,0025 |
0,0049 |
0,0165 |
0,0021 |
0,0052 |
0,687 |
0,0082 |
|||
|
480 |
0,0015 |
0,0008 |
0,0019 |
0,0013 |
0,0009 |
0,452 |
0,0014 |
|||
|
660 |
0,0006 |
0,0005 |
0,0013 |
0,0007 |
0,0004 |
0,542 |
0,0007 |
За даними п’яти паралельних дослідів визначали повну (загальну)
експериментальну дисперсію концентрації повітряної компоненти у жировій масі 
за формулою (14).
Попередньо проводили перевірку дисперсій 
, 
, 
, 
і 
паралельних дослідів на однорідність за критерієм
Кохрена. Основна гіпотеза, яка при цьому перевірялась: чи можна вважати
вибіркові дисперсії 
, 
, 
, 
і 
, що порівнюються, оцінками однієї і тієї ж дисперсії генеральної
сукупності.
Критерій
Кохрена обчислювали за формулою
(15)
Якщо 
для рівня значущості 
, то гіпотеза про однорідність дисперсій 
, 
, 
, 
і 
приймається. Як свідчать дані таблиці, всі дисперсії паралельних дослідів
однорідні.
Експериментальні
і розраховані за моделлю (13) кінетичні криві наведено на рисунках 2 і 3.
Рисунок 2 –
Екпериментальна (---) і розрахункова (––) криві відхилень концентрації за часом для маргарину
Рисунок 3 –
Екпериментальна (---) і розрахункова (––) криві відхилень концентрації за часом для пальмового жиру
Важливе
значення для характеристики досліджуваного процесу змішування має його
тривалість, тобто час, необхідний для одержання суміші з рівномірним розподілом
повітряної маси [5]. З отриманих даних видно, що найбільш інтенсивно
відбувається процес аерування протягом перщих двох хвилин, коли дисперсія
концентрації повітряної компоненти зменшується на 75 – 82 %.
Протягом наступних двох хвилин розподілення повітряної компоненти відбувається
менш інтенсивно і значення дисперсії зменшується на 10 – 20 % .
Починаючи з п’ятої хвилини ефективність аерації
значно зменшується і становить 1,1 – 0,5 % для маргарину та
1,3 – 3,4 % для пальмового жиру. Таким чином, проведені
дослідження показали, що найбільш раціональним часом пластифікації жиру з його
одночасним аеруванням у пластифікаторі ВВ-ПМЛ 4 - 5 хвилин для
маргарину і 7 - 8 хвилин – для пальмового жиру. Готову жирову масу рекомендується
у підкатній ємності транспортувати у змішувальну машину потокової лінії. Це
дозволяє зберегти кристалічну структуру жиру і отримати кондитерську масу з
необхідними властивостями за міцністю.
Перспективами
наступних досліджень є знаходження кількісних характеристик найважливіших
процесів, що відбуваються під час пластифікації жирів.
Література
1. Кондитерська
промисловість [Електронний ресурс]. – Електронні текстові дані (5 Кб) /Державний інф.-анал. центр
«Держзовнішінформ» – Режим доступу: <http://www.mfa.gov.ua./data/upload/publication/12753/uk/ua/348.htm>.
2. Пат. №82011 МПК
(2006) B01F 7/02 A21C 1/00 A23P 1/10 A23G
1/10. Пластифікатор [Текст] / Литвин В.І. [та ін.] ; заявник і власник ТОВ «Фірма
ВІ-ВА-ЛТД».– № а 2006 10227; заявл. 25.09.06; опубл. 25.02.08, Бюл. №2.– 6 с.
3. Пат.
№21044 МПК (2007) С11В 5/00. Спосіб
отримання пластифікованих масел і жирів [Текст] / Литвин В.І. [та ін.] ;
заявник і власник ТОВ «Фірма ВІ-ВА-ЛТД». – № u 2006 10228; заявл. 25.09.06;
опубл. 15.02.07, Бюл. №2.– 4 с.
4. Остриков
А.Н., Сухарев А.И. Разработка математической модели процесса смешивания в
двухвальном лопастном смесителе [Текст] // Хранение и переработка
сельхозсырья.- 2002.- №5. – С. 26-29.
5. Черевко
О.І., Поперечний А.М. Процеси і апарати харчових виробництв: Підручник [Текст]
/ Харк. держ. акад. технол. та орг. харчування. – Харків, 2002. – 420 с. – ISBN 966-7885-16-X.