Карачун В.В., Мельник В.М., Пригорницька К.І.,

Рассоха Я.А., Корнієнко Д.С.

Національний технічний університет України «КПІ»

УСТАЛЕНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ РУХОМОГО АПАРАТУ. ЦИРКУЛЯЦІЯ

Для визначення положення літального апарату відносно нерухомої системи координат впровадимо додатково систему поступально переміщуючихся осей з початком в полюсі та систему координат , що зв’язана з фюзеляжем. Ось спрямуємо вздовж фюзеляжа до носу апарата, ось догори, в площині симетрії, ось – на правий борт (праве крило) (рис.1).

Положення літального апарату в просторі задається трьома координатами полюса та дев’ятьма напрямними косинусами між зв’язаною системою координатних осей та поступально рухомою системою .

Таблиця напрямних косинусів має вигляд (табл. 1). Напрямні косинуси та визначаються із сферичних трикутників, зображених, відповідно, на рис. 2, рис. 3, рис. 4, рис. 5.

Таблиця 1

Складові миттєвої кутової швидкості апарату на осі дорівнюють:

(6)

Вектор лінійної швидкості, як зазначалося, завжди задають відносно зв’язаної системи за допомогою двох кутів – кута дрейфу (ковзання) та кута атаки .

Диференціальні рівняння для обчислення Ейлерових кутів походять з виразу (6):

(7)

Координати полюса. Для знаходження координат полюса доцільно скористуватися вищенаведеною таблицею напрямних косинусів (табл. 1) та аналітичними співвідношеннями (2), (3), (4). Тоді отримаємо:

(8)

У виразі (8). з метою спрощення, доцільно згруповувати доданки, що містять та . Таким чином прийдемо до співвідношень :

(9)

де

(10)

Легко з’ясувати, що між косинусами , , має місце співвідношення

(11)

Таким чином, координати обраного в рухомому апараті полюса можна обчислити за формулами:

(12)

де

Усталене переміщення об’єкту. Застосуємо одержані результати для аналізу усталеного руху апарата, тобто такого руху, коли всі основні кінематичні характеристики сталі у часі. Це означає, що повинні виконуватися наступні умови:

Зупинимося докладніше на випадку, коли

Тут індекс “cт” означає “сталий”.

Формули (12) за цих умов набувають виду:

(13)

Виключивши з першого і третього виразів час , отримуємо підсумкові значення траєкторії полюса:

(14)

Очевидно, що проекція траєкторії полюса т. О апарата на горизонтальну площину являє собою коло радіуса . В той же час, полюс рухається вздовж осі із сталою швидкістю . Таким чином, не являє надмірного труда прийняття висновку щодо характеру траєкторії полюса. Це архімедова спіраль із кроком

та радіусом (рис.6).

Елементи спіралі, кінець кінцем, окреслюються тільки двома величинами – відношенням та косинусом кута між траєкторією та оссю .

Циркуляція (від лат. circulatio – кругообертання). Цей рух є частковим від спірального. Він має місце за умови . Траєкторія полюса т. О в горизонтальній площині є коло –

з центром (рис. 6, заштрихована площина) –

З умови походить забезпечення горизонтальності траєкторії руху об’єкта. Аналітичний вигляд реалізації цієї умови слідує з виразу (8) і має вигляд: