Карачун В.В., Мельник В.М., Пригорницька К.І.,

Савченко О.В., Рассоха Я.А.

Національний технічний університет України «КПІ»

ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ ОБ’ЄКТА ЗА ЙОГО КІНЕМАТИЧНИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

В попередньому доведено, що диференціювання у часі виразу

,

дає можливість з’ясувати розподіл швидкостей в рухомому апараті, тобто обчислити два характерних векторних параметри – та , швидкість полюса та кутову швидкість обертання навколо полюса. В багатьох прикладних задачах динаміки рухомих об’єктів вдається в першу чергу з’ясувати саме ці величини. Природно, виникає питання щодо можливості задання положення об’єкту у просторі за відомих характеристик та . Окреслюються два шляхи вирішення проблеми в залежності від вихідних значень цих параметрів у рухомій, чи нерухомій, системах координат.

Розглянемо випадок, коли кінематичні характеристики апарату означені в рухомій системі проекціями

.

Координати полюса. Координати полюса т. О зв’язані з проекціями швидкості на нерухомій осі очевидними співвідношеннями –

(1)

Вихідним припущенням слугує означеність у часі проекцій швидкості полюса на осі зв’язаної системи координат .

Якщо напрямні косинуси кутів між вектором та осями позначити за , тоді маємо:

де,

.

З огляду на співвідношення

,

можна записати:

(2)

Проекції швидкості полюса на рухомі осі, а також напрямні косинуси, означені через кути Ейлера і являються заданими функціями часу. Таким чином, для визначення поступального руху апарату необхідно вираз (2) зінтегрувати.

Введемо наступні позначення:

(3)

Тоді координати полюса обчислюються наступним чином:

(4)

Кути Ейлера. В тому випадку, коли миттєва кутова швидкість апарату відносно полюса визначена її проекціями на рухомі осі, для обчислення кутів Ейлера треба з’ясувати значення цих проекцій стосовно складових .

Так, наприклад, використовуючи співвідношення

,

отримуємо:

(5)

Отже, обчислення кутів Ейлера за заданими у функції часу проекціями миттєвої кутової швидкості на осі зв’язаної системи координат, зводиться до інтегрування системи трьох нелінійних диференціальних рівнянь (5). Виконати цю процедуру в загальному вигляді через елементарні функції не уявляється можливим.

Разом з тим, за умови, що кутовий рух апарату не перевищує 5÷7º по кожному з напрямів, можна провести лінеаризацію у вигляді –

Це дозволить використати процедуру інтегрування в загальному вигляді.

Разом з тим, означене спрощення не є єдино можливим.