Ж.Б. Бакиров, М.Ж. Бакиров, Г.Д. Таженова

Карагандинский государственный технический университет

Расчет нелинейных виброизоляторов при случайных воздействиях

Уравнение колебаний виброизолированного объекта массы при случайных воздействиях имеет вид

где - сила, возникающая в виброизоляторе; - при силовом воздействии и - при кинематическом воздействии; и - случайные процессы.

При кинематическом воздействии под следует понимать относительное движение объекта. Упруго-диссипативную характеристику виброизолятора обычно представляют в виде суммы упругой и диссипативной силы и линеаризуют вокруг среднего значения перемещения :

Коэффициенты линеаризации зависят от параметров колебательного процесса и при случайных воздействиях определяются методом статистической линеаризации [1]

(1)

где - дисперсии процессов; - плотности распределения процессов.

Пусть является центрированным гауссовским процессом . Если , то уравнение движения можно осреднить и найти отдельно среднее значение перемещения . Линеаризованное уравнение движения имеет вид

где х – центрированный случайный процесс;

Эффективным способом решения этого уравнения является спектральный метод, который позволяет определить спектральные плотности перемещения и скорости по формулам

Дисперсии процессов определяются по известным соотношениям

(2)

(3)

Удовлетворяя далее уравнение движения в среднем получаем .

Для определения вероятностных характеристик колебаний надо найти коэффициенты линеаризации. Найдем их для наиболее часто используемых видов упругих характеристик, полагая плотность распределения нормальными. Будем считать упругие характеристики нечетными функциями. Тогда с учетом получаем везде .

Пусть виброизолятор имеет симметричную кубическую характеристику вида . Тогда по второй формуле (1)

Для нормального закона , поэтому

Для виброизолятора с предварительным натягом

Для виброизолятора с симметричными линейными ограничителями

при при

Второй интеграл возьмем интегрированием по частям

Теперь окончательно получим

где - табулированная Лапласом функция нормального распределения.

Линеаризуем диссипативную силу сухого трения по третьей формуле (1):

Для виброизолятора с внутренним трением наиболее часто применяется следующее выражение для диссипативной силы [2]

где , - характеристики материала; - амплитуда колебаний.

Тогда

Производя замену , перепишем интеграл так:

Этот интеграл выражается через специальные функции [3]

где - полная бета-функция; - полная гамма-функция; - вырожденная гипергеометрическая функция; .

Для вычисления функции используем ее асимптотическое представление при :

где ,

Тогда

Окончательно

Значение коэффициента следует находить задавшись вероятностью Р непревышения процессом амплитуды, которая определяется по формуле

Отсюда имеем

Выразив в (2) и (3) коэффициенты и через , , получаем систему двух нелинейных уравнений для определения дисперсии процессов. Через них далее определяем коэффициенты линеаризации.

Коэффициенты эффективности виброзащиты определяются как и для линейной системы

(4)

Получим выражения для определения дисперсии и расчета коэффициента виброизоляции при конкретных воздействиях. Интегралы (2), (3) и (4) сводятся к вычислению стандартных интегралов от дробно-рациональных функций [4].

Пусть внешнее воздействие является экспоненциально-коррелированным процессом вида

.

Тогда расчетные формулы примут вид

(5)

Для процесса со скрытой периодичностью

имеем

Расчетные формулы для идеально-узкополосного процесса

можно получить отсюда, полагая .

Рассмотрим расчет виброизолятора вязкого трения с кубической упругой характеристикой при экспоненциально-коррелированном воздействии. Подставим в (5) и введем обозначения:

,

Тогда уравнение (5) примет вид

Решая это уравнение, определяем . Тогда Графики зависимости и при , , показаны на рисунке 1. Расчеты проведены с использованием ПК Matlab. На рисунке 1 б пунктиром показано решение линейной задачи.

Рисунок 1 – Графики изменения безразмерного параметра а) и стандарта перемещения б) при экспоненциально-коррелированном воздействии

После определения находим и далее определяем коэффициент виброизоляции

Как видим, при вязком трении уравнение (2) не связано с уравнением (3) и расчет эффективности виброизолятора можно провести без определения дисперсии скорости.

Литература

1. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитных систем –М.: Наука, 1976. -317 с.

2. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел –М.:Наука, 1976.-328с.

3. Справочник по специальным функциям /Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. –М.: Наука, 1979. -830 с.

4. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. –М.: Стройиздат, 1982. -351 с.