*119640*
МАКАРИЧЕВ А.В., МАКАРИЧЕВА М.А.
Харьковский национальный
автомобильно-дорожный университет (ХАДИ)
НАДЁЖНОСТЬ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
В КОМПЛЕКС СЛОЖНЫХ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ С ВРЕМЕННЫМ РЕЗЕРВОМ.
Рассмотрим комплекс , в котором работают
однотипных сложных
восстанавливаемых систем, состоящих из
элементов. Каждый
элемент с течением времени может отказать. В момент его отказа в одной из
сложных систем возникает требование на обслуживание, которое немедленно поступает в ремонтный орган
(РО), представляющий собой пару
,
где - структура,
- дисциплина обслуживания. Ремонтный орган осуществляет восстановление (ремонт или
замену на новый, идентичный исходному). Восстановленный элемент занимает свое
место в сложной системе, в которой произошел отказ, а требование на
обслуживание немедленно покидает РО.
Процесс обслуживания неисправных элементов комплекса в момент времени
и
-й сложной системы соответственно опишем следующими
формулами:
,
,
где - длина требования -
время его обслуживания со скоростью, равной единице,
- выработанная длина
требования, а
- остаточная
длина требования на обслуживание
-го элемента
-й сложной
системы комплекса, ;
, если в момент времени
-й элемент
-й сложной системы исправен;
, если этот элемент неисправен.
Состояние комплекса в момент времени
показывает
совокупность
из двоичных векторов,
каждый из которых определяет состояние соответствующей сложной системы
комплекса
,
.
Здесь , если в момент времени
-й элемент
-й сложной системы комплекса находится в исправном состоянии;
, если в момент времени
он находится в
неисправном состоянии,
.
Предположим, что поток отказов элементов, возникающий в каждой сложной системе, является марковским, то есть удовлетворяет двум условиям.
1. Если в произвольный момент времени
-я сложная система находится в состоянии
, то вероятность отказа на промежутке времени
исправного
-го элемента
-й сложной системы комплекса при
составляет
.
2. В каком бы из состояний ни находилась
-я сложная система комплекса в произвольный момент времени
, вероятность отказа двух и более элементов этой системы на
промежутке времени
равна
при
.
Если состояния двух различных -й и
-й сложных систем совпадают, то есть
, то интенсивности
отказов соответствующих элементов в этих
системах совпадают: для любого для всех
. Пусть
,
где , т.е.
- суммарная
интенсивность (интенсивность отказа хотя бы одного из исправных элементов
-й сложной системы комплекса, находящейся в состоянии
),
. Длины требований
(различных элементов или различных отказов одного и того же элемента) есть
независимые положительные случайные величины.
Обозначим - функцию
распределения длины требования по обслуживанию
-го элемента
-й сложной системы комплекса,
. Ее
-й момент обозначим
. Пусть
- функция
распределения длины первого возникшего в
-й сложной системе требования на периоде регенерации,
- ее
-й момент,
- начальная нагрузка
на РО требований на обслуживание элементов сложных систем комплекса
. Обозначим функцию распределения случайной величины,
мажорирующей по вероятности все длины требований из
-й
сложной системы,
, ее
-й
момент
и
,
.
Отказы элементов некоторой сложной системы на периоде регенерации
комплекса могут привести всю сложную систему к отказу. Множество всевозможных
состояний
-й сложной системы делится на два непустые непересекающиеся
подмножества
- исправных и
- неисправных
состояний
-й сложной системы комплекса,
. Мы предполагаем также, что
.
Пусть - число неисправных элементов в
-й сложной системе и
,
.
Если число неисправных
элементов в комплексе не превосходит , то эта система исправна. Отказ комплекса наступает, если в
течение случайного времени
в комплексе окажутся
неисправными
сложных систем с
номерами
,
. Это связано с наличием в комплексе временного резерва. Мы
предполагаем, что
. Множество
всевозможных
состояний комплекса состоит из двух непустых непересекающихся подмножеств
- исправных и
- возможных
неисправных состояний комплекса:
, если в момент времени
все сложные системы
исправны и
, если хотя бы одна сложная система комплекса неисправна.
Пусть
- функция
распределения временного резерва. Отказавшие элементы обслуживаются в РО
в порядке поступления (согласно дисциплине
из класса
консервативных дисциплин).
Пусть
-
время до первого отказа комплекса при
условии, что в момент времени все элементы всех
сложных систем комплекса исправны (индекс
для простоты
обозначений мы здесь и в дальнейшем опускаем).
Пусть последовательность
состояний
-ой системы до момента ее отказа. Эта последовательность образует
монотонный минимальный путь
, по которому
-ая сложная система из состояния
приходит к отказу и
,
,
где номера последовательно отказавших элементов
-й сложной системы по пути
. Множество монотонных минимальных путей, по которым
-ая сложная система может отказать обозначим
. комплекса неисправна. Пусть
. Отказавшие элементы обслуживаются в РО в порядке
поступления (согласно дисциплине
из класса
консервативных дисциплин).
Пусть
-
время до первого отказа комплекса при
условии, что в момент времени все элементы всех
сложных систем комплекса исправны (индекс
для простоты
обозначений мы здесь и в дальнейшем опускаем).
Теорема
1.
Пусть и существует конечный
момент
. Тогда при
,
где
Литература
1. Соловьев А.Д. Оценка надежности восстанавливаемых систем. М.: Знание, 1987.